Đáp án:
GTNN $P = \frac{216}{125}$
Giải thích các bước giải:
$P = ( 1 + \frac{a}{5b} )( 1 + \frac{b}{5c} )( 1 + \frac{c}{5a} )$
⇔ $P = \frac{5b+a}{5b}×\frac{5c+b}{5c}×\frac{5a+c}{5a}$
⇔ $P = \frac{(5b+a)(5c+b)(5a+c)}{125abc}$
Áp dụng bất đẳng thức cô si cho 6 số dương ta được :
+) $5b + a = b + b + b + b + b + a ≥ 6\sqrt[6]{ab^{5}}$
+) $5c + b = c + c + c + c + c + b ≥ 6\sqrt[6]{bc^{5}}$
+) $5a + c = a + a + a + a + a + c ≥ 6\sqrt[6]{a^{5}c}$
⇒ $( 5b + a )( 5c + b )( 5a + c ) ≥ 6\sqrt[6]{ab^{5}}×6\sqrt[6]{bc^{5}}×6\sqrt[6]{6a^{5}c}$ $( a , b , c > 0 )$
⇔ $( 5b + a )( 5c + b )( 5a + c ) ≥ 216\sqrt[6]{a^{6}b^{6}c^{6}}$
⇔ $(5b+a)(5c+b)(5a+c) ≥ 216abc$
⇔ $\frac{(5b+a)(5c+b)(5a+c)}{125abc} ≥ \frac{216}{125}$
⇔ $P ≥ \frac{216}{125}$
Dấu "=" xảy ra ⇔ $a = b = c$ $a , b , c > 0$
