Ta có: $A=\frac{a}{a + b}+\frac{b}{b + c}+\frac{c}{c + a}>\frac{a}{a + b + c}+\frac{b}{b + c + a}+\frac{c}{c + a + b} = \frac{a + b + c}{a + b + c}=1$
=> A > 1
Ta so sánh $\frac{a}{a+b}$ và $\frac{a+c}{a+b+c}$
a(a + b + c) = a² + ab + ac (1)
(a + b)(a + c) = a(a + c) + b(a + c) = a² + ac + ab + bc (2)
Từ (1) và (2) suy ra: a(a + b + c) < (a + b)(a + c) (vì b,c >0 nên bc >0)
⇒ [a(a + b + c)] : [(a + b + c)(a + b)] < [(a + b)(a + c)] : [(a + b + c)(a + b)]
⇒ $\frac{a}{a+b}<\frac{a+c}{a+b+c}$(3)
Tương tự, ta có: $\frac{b}{b+c}<\frac{a+b}{a+b+c}$(4), $\frac{c}{c+a}<\frac{b+c}{a+b+c}$(5)
Lấy (3) + (4) + (5), ta có:
$A=\frac{a}{a + b}+\frac{b}{b + c}+\frac{c}{c + a}<\frac{a+c}{a+b+c}+\frac{a+b}{a+b+c}+\frac{b+c}{a+b+c} = \frac{2(a+b+c)}{a+b+c}=2$ => A<2, mà A>1
=> 1<A<2 => A không có giá trị nguyên
Vậy A không có giá trị nguyên
