Đáp án:
Giải thích các bước giải: áp dụng bđt Cauchy-Schwarz ta có
\((a+b+c)(\frac{a}{(b+c)^{2}}+\frac{b}{(c+a)^{2}}+\frac{c}{(a+b)^{2}}\geq ((\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})^{2})\) (1)
Lại theo bđt Cauchy-Schwarz
\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=\frac{a^{2}}{ab+ac}+\frac{b^{2}}{ba+bc}+\frac{c^{2}}{ca+cb}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{2(ab+bc+ca)}\)
mà theo bđt Cauchy ta có \((a+b+c)^{2}\geq 3(ab+bc+ca)\)
do đó \((\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})^{2}\geq \frac{9}{4}\) (2)
từ (1), (2) suy ra đpcm
dấu = xảy ra khi a=b=c