Đáp án:
cách khác nếu bn cần , tuy có hơi dài :)
Ta có : `∑a <= \sqrt{3∑a^2} = \sqrt{3.3} = 3`
`VT = ∑ (2a^2)/(a + b^2) = ∑2a - ∑ (2ab^2)/(a + b^2) = 2∑a - ∑(2ab^2)/(a + b^2)`
Áp dụng BĐT ` Cô si` ta có
`a + b^2 ≥ 2\sqrt{ab^2} -> (2ab^2)/(a + b^2) ≤ (2ab^2)/(2\sqrt{ab^2}) = \sqrt{ab^2} = b\sqrt{a}`
`-> VT ≥ 2∑a - ∑b\sqrt{a}`
Nếu ta c/m đc `2∑a - ∑b\sqrt{a} ≥ ∑a (1) ` thì bài toán đc c/m
`(1) <=> ∑a ≥ ∑b\sqrt{a} (2)`
Đặt `(\sqrt{a} , \sqrt{b} , \sqrt{c}) = (x,y,z) (x,y,z > 0)`
thì việc c/m `(2) <=> ∑x^2 ≥ ∑xy^2`
Ta có
`∑x = ∑\sqrt{a} ≤ \sqrt{3(∑a)} ≤ \sqrt{3.3} = 3`
`-> 3∑x^2 ≥ (∑x)(∑x^2) = ∑x^3 + ∑xz^2 + ∑xy^2`
Áp dụng BĐT Cô si ta có
`x^3 + xz^2 ≥ 2\sqrt{x^3 . xz^2} = 2x^2z`
tương tự `-> ∑x^3 + ∑xz^2 ≥ ∑2xy^2`
`-> 3∑x^2 ≥ ∑xy^2 + ∑2xy^2 = ∑3xy^2`
`-> ∑x^2 ≥ ∑xy^2 (đpcm)`
Dấu "=" xảy ra `<=> a = b = c = 1`
Giải thích các bước giải:
