Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a + b = 4ab$. Chứng minh rằng: $\dfrac{a}{4b^2 + 1} + \dfrac{b}{4a^2 + 1} \geq \dfrac{1}{2}$

vansy

2 năm trước

Loga Sinh Học lớp 12

0 lượt thích 17 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

Tiendang2001

Ta có : $a+b=4ab ≤ (a+b)^2$

$\to a+b ≥ 1$

Đặt $P = \dfrac{a}{4b^2+1} + \dfrac{b}{4a^2+1}$

$ = \dfrac{a^2}{4ab^2+a}+\dfrac{b^2}{4a^2b+b}$

$≥ \dfrac{(a+b)^2}{4ab^2+4ab^2+a+b}$ ( Svac - xơ )

$ = \dfrac{(a+b)^2}{(a+b).(4ab+1)} = \dfrac{a+b}{4ab+1}$

$ = \dfrac{a+b}{a+b+1} = 1 - \dfrac{1}{a+b+1} ≥ 1 - \dfrac{1}{1+1} = \dfrac{1}{2}$

Dấu "=" xảy ra $⇔a=b=\dfrac{1}{2}$

Vậy $Min$ $P = \dfrac{1}{2}$ khi $a=b=\dfrac{1}{2}$

Vote (0) Phản hồi (0) 2 năm trước

anhcamon55

Đáp án + giải thích các bước giải:

Ta có:

`(a+b)^2>=4ab`

`->(a+b)^2>=a+b`

`->a+b>=1`

`->1<=4ab`

`->a/(4b^2+1)+b/(4a^2+1)>=a/(4b^2+4ab)+b/(4a^2+4ab)=a/(4b(a+b))+b/(4a(a+b))=a/(4b4ab)+b/(4a4ab)=a/(16ab^2)+b/(16a^2b)=1/(16b^2)+1/(16a^2)=(a^2+b^2)/(16a^2b^2)=(a^2+b^2)/(4ab)^2=(a^2+b^2)/(a+b)^2`

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si:

`(a^2+b^2)/(a+b)^2>=(a^2+b^2)/(2(a^2+b^2))=1/2`

`->a/(4b^2+1)+b/(4a^2+1)>=1/2`

Dấu bằng xảy ra khi $ \left\{\begin{matrix} a=b\\a+b=4ab \end{matrix}\right. \rightarrow a=b=\dfrac{1}{2}$

Vote (0) Phản hồi (0) 2 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Cho tam giác ABC,gọi M,N lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AC. Biết CM=BN. Chứng tỏ tam giác ABC cân.

Một miếng bìa hình chữ Nhật có chiều dài bằng 5/4 chiều rộng và hơn chiều rộng 10cm. Tính chu vi mieng Bia đó

làm bài trình chiều về khu du lịch Bửu Long

Sau khi lên ngôi 2 Bà Trưng làm những điều gì đối với nhân dân?

Viết 1 đoạn văn miêu tả vẻ đẹp một thác nước trong đó có sử dụng ít nhất 1 hình ảnh so sánh

Bài 3:Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy D sao cho AD=AB, trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AC. a/ Chứng minh rằng : BE = CD. b/ Chứng minh: BE // CD. c/ Gọi M là trung điểm của BE và N là trung điểm của CD. Chứng minh A là trung điểm của MN Bài 4: Cho góc nhọn xOy. Trên tia Ox lấy điểm A, trên tia Oy lấy điểm B sao cho OA = OB. Trên tia Ax lấy điểm C, trên tia By lấy điểm D sao cho AC = BD. a) Chứng minh: AD = BC. b) Gọi E là giao điểm AD và BC. Chứng minh: EAC = EBD. c) Chứng minh: OE là phân giác của góc xOy.

Trong các giá trị của cây ăn quả, giá trị nào quan trọng nhất ? Tại sao?

Trình bày diễn biến cuộc kháng chiến chống quân xâm lược Hán 42-43

bác an mua 49 l đầu và chua vào 7 cần sau khi bán bác còn lại 3 cần hỏi bác đã bán bao nhiêu l dau

Bài 3 Bài 3: Cho điểm O thuộc đường thẳng xy. Trên tia Ox lấy điểm M sao cho OM = 4cm. Trên tia Oy lấy điểm N sao cho ON=2cm. Gọi A, B lần lượt là trung điểm của OM và ON. a) Chứng tỏ O nằm giữa A và B. b) Tính độ dài đoạn thẳng AB.

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến