Đáp án: $P_{min}=1,5⇔a=b=c=1$
Giải thích các bước giải:
Anh/chị tự chứng minh bất đẳng thức sau:
$(x+y+z)^2≥3(xy+yz+xz) ∀x;y;z(*)$
Dấu bằng xảy ra $⇔x=y=z$
Trở lại bài toán:
Ta có:
`\frac{a}{1+b^2}=\frac{(ab^2+a)-ab^2}{1+b^2}=a-\frac{ab^2}{1+b^2}`
`≥a-\frac{ab^2}{2\sqrt{1.b^2}}=a-\frac{ab^2}{2b}=a-\frac{ab}{2}`
Chứng minh tương tự:
`\frac{b}{1+c^2}≥b-\frac{bc}{2}`
`\frac{c}{1+a^2}≥c-\frac{ac}{2}`
`⇒P=\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}`
`≥(a+b+c)-(\frac{ab}{2}+\frac{bc}{2}+\frac{ac}{2})`
`=3-\frac{3(ab+bc+ca)}{6}`
`≥3-\frac{(a+b+c)^2}{6}` (áp dụng $(*)$)
`=3-\frac{3^2}{6}=\frac{3}{2}`
Dấu bằng xảy ra $⇔a=b=c=1$
