Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Ta có:
$\frac{a}{2b^3+1}=a-\frac{2ab^3}{b^3+b^3+1} \geq a-\frac{2ab^3}{3\sqrt[3]{b^3.b^3.1}}=a-\frac{2}{3}.\frac{ab^3}{b^2}=a-\frac{2}{3}.ab$
Tương tự ta có:
$\frac{b}{2c^3+1} \geq b-\frac{2}{3}.bc; $ $\frac{c}{2a^3+1} \geq c-\frac{2}{3}ca$
Cộng vế với vế:
$\frac{a}{2b^3+1}+\frac{b}{2c^3+1}+\frac{c}{2a^3+1} \geq a+b+c-\frac{2}{3}(ab+bc+ca) \geq \sqrt{3(ab+bc+ca)}-\frac{2}{3}(ab+bc+ca)=1$ (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$
