Ta có: $a,b,c$ là $3$ cạnh của tam giác
$\to \begin{cases}a + b - c > 0\\b + c - a > 0\\c + a - b > 0\end{cases}$
Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy- Schwarz$ dạng $Engel$ ta được:
$\dfrac{1}{a+ b - c} +\dfrac{1}{b + c -a}\geq \dfrac{(1+1)^2}{a+b-c+b+c-a}=\dfrac{2}{b}$
Tương tự, ta được:
$\dfrac{1}{b+c -a} +\dfrac{1}{c + a - b}\geq \dfrac{2}{c}$
$\dfrac{1}{c + a - b} +\dfrac{1}{a + b - c}\geq \dfrac{2}{a}$
Cộng vế theo vế ta được:
$2\cdot\left(\dfrac{1}{a+ b - c} +\dfrac{1}{b + c -a}+\dfrac{1}{c + a - b}\right) \geq 2\cdot\left(\dfrac1a +\dfrac1b+\dfrac1c\right)$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{a+ b - c} +\dfrac{1}{b + c -a}+\dfrac{1}{c + a - b} \geq \dfrac1a +\dfrac1b+\dfrac1c$
Dấu $=$ xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c$
