Vì `a;b;c\in Z; a-b+c=123` và $123$ là số lẻ nên $3$ số $a;b;c$ đều là số lẻ, hoặc $1$ trong $3$ số $a;b;c$ là số lẻ và $2$ số còn lại chẵn.
+) TH1: Cả $a;b;c$ đều là số lẻ
$a$ là số lẻ `=>a=2k+1\ (k\inZ)`
`=>a^2=(2k+1)^2=4k^2+4k+1` là số lẻ
Tương tự `=>b^2;c^2` cũng là số lẻ
`=>a^2-b^2+c^2` là số lẻ
+) TH2: $1$ trong $3$ số $a;b;c$ là số lẻ; $2$ số còn lại là số chẵn.
Không mất tính tổng quát, giả sử $a$ là số lẻ, $b;c$ là số chẵn.
`a` là số lẻ `=>a^2` là số lẻ (theo TH1)
$b$ là số chẵn `=>b=2k\(k\in Z)`
`=>b^2=(2k)^2=4k^2` là số chẵn.
Tương tự `=>c^2` là số chẵn.
`=>a^2-b^2+c^2` là số lẻ.
Suy ra với $a;b;c\in Z$ thỏa $a-b+c=123$ thì $a^2-b^2+c^2$ luôn là số lẻ, và số lẻ chia $2$ thì dư $1$.
Vậy số dư của phép chia `a^2-b^2+c^2` cho $2$ là $1$
