Đáp án:
Áp dụng `B-C-S` ta có :
`\sqrt{ab} + \sqrt{(a^2 + b^2)/2} <= \sqrt{2(ab + (a^2 + b^2)/2)} = \sqrt{(a + b)^2} = a + b`
`-> 2\sqrt{ab} + \sqrt{2(a^2 + b^2)} <= 2(a + b)`
`-> 2a + 2b - 2\sqrt{ab} >= \sqrt{2(a^2 + b^2)}`
Do đó ta chỉ cần `cm` `a^2/b + b^2/a >= 2a + 2b - 2\sqrt{ab}`
`<=> a^2/b + b^2/a - 2\sqrt{ab} >= 2(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2`
`<=> (a^3 - 2\sqrt{a^3b^3} + b^3)/(ab) >= 2(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2`
`<=> (\sqrt{a^3} - \sqrt{b^3})^2/(ab) >= 2(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2`
`<=> (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2(a + \sqrt{ab} + b)^2 . 1/(ab) - 2(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 >= 0`
`<=> (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2[(a + \sqrt{ab} + b)^2 . 1/(ab) - 2] >= 0 (2)`
Áp dụng `AM - GM` ta có :
`(a + \sqrt{ab} + b)^2 . 1/(ab) >= (2\sqrt{ab} + \sqrt{ab})^2 . 1/(ab) = (3\sqrt{ab})^2 . 1/(ab) = 9ab . 1/(ab) = 9 > 2`
`-> (a + \sqrt{ab} + b)^2 . 1/(ab) - 2 > 0 (1)`
Từ `(1)(2) -> đ.p.c.m`
Dấu "=" xảy ra `<=> a = b`
Giải thích các bước giải:
