Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Để cho gọn đặt x = (a² + b²)/ab ≥ 2 với mọi a, b ta có:
(x - 1)² = [(a² + b²)/ab - 1]² = (a² + b² - ab)²/a²b²
x + 2 = (a² + b²)/ab + 2 = (a + b)²/ab
x³ - 3x + 2 = (x - 1)²(x + 2) = (a³ + b³)²/a³b³
Mặt khác do : x - 2 ≥ 0 và x² + 2x - 1 > 2² + 2.2 - 1 = 7 > 0 với mọi a, b nên:
(x - 2)(x² + 2x - 1) ≥ 0
⇔ x³ - 5x + 2 ≥ 0
⇔ x³ - 3x + 2 ≥ 2x
⇔ (a³ + b³)²/a³b³ ≥ 2(a² + b²)/ab
⇔ (a³ + b³)²/a²b² ≥ 2(a² + b²)
⇔ (a³ + b³)/ab ≥ √[2(a² + b²)]
⇔ a²/b + b²/a ≥ √[2(a² + b²)] (đpcm)
