Giải thích các bước giải:
$M=a^3+b^3+2000 = (a+b)(a^2-ab+b^2) +2000 = (a+b)(a+b)+2000=(a+b)^2+2000$
Ta có: $a^2+b^2= a+b+ab <=> (a+b)^2-(a+b)-3ab =0$
Áp dụng bất đẳng thức $Co-si$:
$=>(a+b)^2 \ge 4ab <=> \frac{3}{4}(a+b)^2 \ge 3ab <=> -3ab \ge -\frac{3}{4}(a+b)^2$
$=>(a+b)^2-(a+b)-3ab \ge (a+b)^2-(a+b)-\frac{3}{4}(a+b)^2 = \frac{1}{4}(a+b)^2-(a+b)$
$=>0 \le a+b \le 4 <=> 0 \le (a+b)^2 \le 16$
$=>M=(a+b)^2+2000 \le 16+2000=2016$
Dấu bằng xảy ra khi: $a=b=2$
