Đáp án:
\[\left( {a;b} \right) = 9\]
Giải thích các bước giải:
Gọi \(UCLN\,\,\left( {a;b} \right) = d\,\,\,\left( {d \in {N^*}} \right)\)
Do \(a;b\) là hai số tự nhiên không nguyên tố cùng nhau nên \(d > 1\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}
d = UCLN\left( {a;b} \right)\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a\,\, \vdots \,\,d\\
b\,\, \vdots \,\,d
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left( {4n + 3} \right)\,\, \vdots \,\,d\\
\left( {5n + 1} \right)\,\, \vdots \,\,d
\end{array} \right.\\
\left( {4n + 3} \right)\,\, \vdots \,\,d\\
\Leftrightarrow 5.\left( {4n + 3} \right)\,\, \vdots \,\,d\\
\Leftrightarrow \left( {20n + 13} \right)\,\, \vdots \,\,d\\
\Leftrightarrow \left[ {\left( {20n + 4} \right) + 9} \right]\,\, \vdots \,\,d\\
\Leftrightarrow \left[ {4.\left( {5n + 1} \right) + 9} \right]\,\, \vdots \,\,d\\
\left( {5n + 1} \right)\,\, \vdots \,\,d \Rightarrow 4.\left( {5n + 1} \right)\,\, \vdots \,\,d\\
\Rightarrow 9\,\, \vdots \,\,d\\
\Rightarrow d = \left\{ {1;3;9} \right\}
\end{array}\)
\(d\) là UCLN nên d là số lớn nhất có thể được. Do đó, \(d = 9\)
Vậy \(\left( {a;b} \right) = 9\)
