Đáp án:
Giải thích các bước giải:
a) áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:
(a²+b²)(1²+1²)≥(a.1+b.1)²
⇔ 2(a²+b²) ≥ (a+b)²
⇔ 2(a²+b²)≥ 1 (vì a+b=1)
⇔ a² +b² ≥ 1/2 (đpcm)
dấu "=) xảy ra khi a = b = 1/2
b) áp dụng BĐT cauchy ta có: a² +b² ≥2ab
⇔ a² + 2ab + b² ≥ 4ab
⇔(a+b)² ≥ 4ab
⇔ 1 ≥ 4ab (vì a+b=1)
⇔ ab ≤ 1/4 ⇒ -ab ≥ -1/4
dấu "=" xảy ra khi a= b= 1/2
ta có: a³ +b³ = (a+b)(a²-ab+b²) = a² + b² -ab (vì a+b=1)
vì a² + b² ≥ 1/2 ; -ab ≥ -1/4 ⇒ a² + b² -ab ≥ 1/2 -1/4 = 1/4
⇒ a³ + b³ ≥ 1/4 (đpcm)
dấu "=" xảy ra khi a = b = 1/2