`A = \frac{ 3x-1}{x -1}` và `B = \frac{2x^{2} + x - 1 }{x + 2 }` 

ĐKXĐ: `x\ne1, x\ne-2.`

`a)` Có: `A = \frac{ 3x-1}{x -1}=\frac{ 3x-3+2}{x -1}=\frac{ 3x-3}{x -1}+\frac{ 2}{x -1}=\frac{3(x-1)}{x -1}+\frac{ 2}{x -1}=1+\frac{ 2}{x -1}.`

Để `A∈ZZ⇔\frac{ 2}{x -1}∈ZZ⇔(x-1)∈Ư(2)={-1;1;-2;2}`

`⇔x∈{0;2;-1;3}.`

`B=\frac{ 2x^2+x-1}{x+2}`

`=\frac{ 2x^2+4x-3x-6+5}{x+2}`

`=\frac{2x^2+4x}{x+2}-\frac{ 3x+6}{x +2}+\frac{ 5}{x +2}`

`=\frac{2x(x+2)}{x+2}-\frac{ 3(x+2)}{x +2}+\frac{ 5}{x +2}`

`=2x-3+\frac{ 5}{x +2}.`

Có `x∈ZZ` (theo đề bài) nên để `B∈ZZ⇔\frac{ 5}{x +2}∈ZZ⇔x+2∈Ư(5)={1;-1;5;-5}`

`⇒x∈{-1;-3;3;-7}`

Vậy để `A∈ZZ⇔x∈{0;2;-1;3}.`, để `B∈ZZ⇔x∈{-1;-3;3;-7}.`

`b)` Để `A,B∈ZZ` thì `x∈{3}.` (nghĩa là phần tử ở cả hai tập hợp trên phải trùng nhau.)

Đáp án:

b. x=3

Giải thích các bước giải:

\(\begin{array}{l}
a.DK:x \ne \left\{ {1; - 2} \right\}\\
A = \dfrac{{3\left( {x - 1} \right) + 2}}{{x - 1}} = 3 + \dfrac{2}{{x - 1}}\\
A \in Z\\
 \to \dfrac{2}{{x - 1}} \in Z\\
 \to x - 1 \in U\left( 2 \right)\\
 \to \left[ \begin{array}{l}
x - 1 = 2\\
x - 1 =  - 2\\
x - 1 = 1\\
x - 1 =  - 1
\end{array} \right.\\
 \to \left[ \begin{array}{l}
x = 3\\
x =  - 1\\
x = 2\\
x = 0
\end{array} \right. \to \left[ \begin{array}{l}
A = 4\\
A = 2\\
A = 5\\
A = 1
\end{array} \right.\\
B = \dfrac{{2{x^2} + 4x - 3x - 6 + 5}}{{x + 2}}\\
 = \dfrac{{2x\left( {x + 2} \right) - 3\left( {x + 2} \right) + 5}}{{x + 2}}\\
 = \dfrac{{\left( {x + 2} \right)\left( {2x - 3} \right) + 5}}{{x + 2}}\\
 = 2x - 3 + \dfrac{5}{{x + 2}}\\
B \in Z\\
 \Leftrightarrow \dfrac{5}{{x + 2}} \in Z\\
 \Leftrightarrow x + 2 \in U\left( 5 \right)\\
 \to \left[ \begin{array}{l}
x + 2 = 5\\
x + 2 =  - 5\\
x + 2 = 1\\
x + 2 =  - 1
\end{array} \right.\\
 \to \left[ \begin{array}{l}
x = 3\\
x =  - 7\\
x =  - 1\\
x =  - 3
\end{array} \right. \to \left[ \begin{array}{l}
B = 4\\
B =  - 18\\
B = 0\\
B =  - 14
\end{array} \right.
\end{array}\)

b. Để A và B cùng là số nguyên 

\(\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow A = B = 4\\
 \Leftrightarrow x = 3
\end{array}\)