Cho \(A = \underbrace {2012.2012...2012}_{2013.thua.so.2012}\) và \(B = \underbrace {2013.2013...2013}_{2012.thua.so.2013}\) Chứng minh rằng: \(A + B\) không phải là số chính phương. A. B. C. D.
Đáp án đúng: Giải chi tiết:Xét \(A = \underbrace {2012.2012...2012}_{2013.thua.so.2012}\) Ta có: \(2012.2012.2012.2012 = ...6\) Mà \(A\) có \(2013\) thừa số \(2012 \Rightarrow A\) là tích của \(503\) nhóm (Mỗi nhóm \(4\) thừa số \(2012\) ) với một thừa số tận cùng là \(2\) (Vì \(2013\) chia \(4\) được \(503\) dư \(1\)). \( \Rightarrow A = \underbrace {2012.2012...2012}_{2013.thua.so.2012} = \left( {...6} \right).\left( {...2} \right) = ..2\) Xét \(B = \underbrace {2013.2013...2013}_{2012.thua.so.2013}\) Ta có: \(2013.2013.2013.2013 = ...1\) Mà \(B\) có \(2012\) thừa số \(2013 \Rightarrow A\) là tích của \(503\) nhóm (Mỗi nhóm \(4\) thừa số \(2012\)) (Vì \(2012:4 = 503\)) \(\begin{array}{l} \Rightarrow B = \underbrace {2013.2013...2013}_{2012.thua.so.2013} = ...1\\ \Rightarrow A + B = \left( {...2} \right) + \left( {...1} \right) = ...3\end{array}\) Vậy \(A + B\) không phải là số chính phương (đpcm).