Điều kiện: $a,b,c>0$
Áp đụng BĐT Cô si $\sqrt{xy}\leq \frac{x+y}{2}$ với x,y>0, ta có:
$\sqrt{1+a^2}=\sqrt{ab+ac+bc+a^2}=\sqrt{(a+b)(a+c)}\leq \frac{a+b+a+c}{2}\ (1)$
Tương tự: $\sqrt{1+b^2}\leq \frac{a+b+b+c}{2}\ (2)$ ;$\sqrt{1+c^2}\leq \frac{a+c+b+c}{2}\ (3)$
Cộng từng vế (1),(2),(3) ta được
$\sqrt{1+a^2}+\sqrt{1+b^2}\sqrt{1+c^2}\leq \frac{(a+b+a+c)+(a+b+b+c)+(a+c+b+c)}{2}=2(a+b+c) $
Vậy ta có đpcm. Dấu ''='' xảy ra khi $a=b=c$