Cho \(a,b\) là hai số dương thỏa mãn \(a + b \ge 1\)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P = {\left( {{a^3} + {b^3}} \right)^2} + \left( {{a^2} + {b^2}} \right) + \frac{3}{2}ab\)A.\(\frac{{15}}{{16}}\)B.\(1\)C.\(\frac{3}{2}\)D.\(\frac{1}{2}\)

nguyenxuannhat41

2 năm trước

Cho \(a,b\) là hai số dương thỏa mãn \(a + b \ge 1\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P = {\left( {{a^3} + {b^3}} \right)^2} + \left( {{a^2} + {b^2}} \right) + \frac{3}{2}ab\)
A.\(\frac{{15}}{{16}}\)
B.\(1\)
C.\(\frac{3}{2}\)
D.\(\frac{1}{2}\)

Loga Hóa Học lớp 12

0 lượt thích 18 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

531597164306340

Đáp án đúng: A

Giải chi tiết:Chứng minh được bất đẳng thức: \({a^3} + {b^3} \ge ab\left( {a + b} \right)\,\,\,\left( * \right),\) với \(a,b > 0\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {a^3} + {b^3} - ab\left( {a + b} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow \left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right) - ab\left( {a + b} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow \left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - 2ab + {b^2}} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow \left( {a + b} \right){\left( {a - b} \right)^2} \ge 0\end{array}\)
Dấu “=” xảy ra khi \(a = b\)
Áp dụng bất đẳng thức \(\left( * \right)\) ta có: \({\left( {{a^3} + {b^3}} \right)^2} \ge {\left[ {ab\left( {a + b} \right)} \right]^2}\)
Mà theo giả thiết \(a + b \ge 1\,\, \Rightarrow {\left( {{a^3} + {b^3}} \right)^2} \ge {\left[ {ab\left( {a + b} \right)} \right]^2} \ge {\left( {ab} \right)^2}\)
Mặt khác ta có: \({a^2} + {b^2} = {\left( {a + b} \right)^2} - 2ab \ge 1 - 2ab\)
Do đó:
\(P = {\left( {{a^3} + {b^3}} \right)^2} + \left( {{a^2} + {b^2}} \right) + \frac{3}{2}ab \ge {\left( {ab} \right)^2} + 1 - 2ab + \frac{3}{2}ab = {\left( {ab} \right)^2} - \frac{{ab}}{2} + 1\)
Mà \({\left( {ab} \right)^2} - \frac{{ab}}{2} + 1 = \left( {a{b^2}} \right) - 2.ab.\frac{1}{4} + \frac{1}{{16}} + \frac{{15}}{{16}} = {\left( {ab - \frac{1}{4}} \right)^2} + \frac{{15}}{{16}} \ge \frac{{15}}{{16}}\)
Suy ra: \(P \ge \frac{{15}}{{16}}\)
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b = 1\\{\left( {ab - \frac{1}{4}} \right)^2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b = 1\\ab = \frac{1}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = \frac{1}{2}\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P\) là \(\frac{{15}}{{16}}\) khi \(a = b = \frac{1}{2}.\)
Chọn A.

Vote (0) Phản hồi (0) 2 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Một máy hơi nước công suất 20kW, mỗi giờ dùng hết 10kg than. Tìm hiệu suất của động cơ. Biết năng suất tỏa nhiệt của than là 3,6.107 J/kg.
A.18%
B.20%
C.22%
D.25%

Một viên đạn bằng bạc có khối lượng 2g đang bay với vận tốc 200m/s thì chạm vào một bức tường gỗ. Nếu coi viên đạn không trao đổi nhiệt với bên ngoài thì nhiệt độ của viên đạn sẽ tăng thêm bao nhiêu độ? Nhiệt dung riêng của bạc là 234 J/(kg.K)
A.70,50C
B. 750C
C.85,50C
D. 800C

Điện năng từ một trạm điện phát điện được đưa đến một khu tái định cư bằng đường dây truyền tải một pha. Cho biết, nếu điện áp từ hai đầu truyền đi tăng từ U lên 2U thì số hộ dân được trạm cung cấp đủ điện năng tăng từ 120 lên 147. Cho rằng chỉ tính đến hao phí trên đường dây, công suất tiêu thụ điện của các hộ dân đều như nhau, công suất của trạm phát không đổi và hiệu công suất trong các trường hợp đều bằng nhau. Số hộ dân mà trạm phát này cung cấp đủ điện năng khi điện áp truyền đi 6U là
A.130
B.155
C.140
D.150

Người ta cung cấp nhiệt lượng 2J cho chất khí đựng trong một xilanh đặt nằm ngang. Chất khí nở ra, đẩy pittong đi một đoạn 5cm. Tính độ biến thiên nội năng của chất khí. Biết lực ma sát giữa pittong và xilanh có độ lớn 10N:
A. 0,5J
B. 1J
C.2J
D.1,5J

Một đầu máy điezen xe lửa có công suất 5.106W và có hiệu suất là 20%. Cho biết năng suất tỏa nhiệt của nhiên liệu là 4.107J/kg. Nếu đầu máy chạy hết công suất thì khối lượng nhiên liệu tiêu thụ trong mỗi giờ là:
A.2250 kg
B.2429 kg
C.2028 kg
D. 2056 kg

Đặt điện áp \(u = {U_0}cos2\pi ft{\rm{ }}\) (\({U_0}\) không đổi, f thay đổi được) vào hai dầu đoạn mạch có R, L, C mắc nối tiếp. Khi tần số là f1 thì cảm kháng và dung kháng của đoạn mạch có giá trị lần lượt là 64Ω và 144Ω. Khi tần số là 120Hz thì cường độ dòng điện trong đoạn mạch cùng pha với u. Giá trị f1 là
A.50 Hz
B.160 Hz
C.80 Hz
D.180 Hz

Xác định hiệu suất của 1 động cơ thực hiện công 25.103J khi nhận được từ một nguồn nóng nhiệt lượng 7,5.104J.
A.25%
B.20%
C.33,3%
D.50%

Thực hiện công lên một xilanh hình trụ làm thể tích của khí trong xilanh giảm đi 0,250m3. Tính độ biến thiên nội năng của khí. Biết khí truyền ra môi trường xung quanh nhiệt lượng 106J và áp suất của khí là 12.106 N/m2, coi áp suất này không đổi trong suốt quá trình thực hiện công.
A.\({3.10^6}J\)
B.\({4.10^6}J\)
C.\({2.10^6}J\)
D.\({13.10^6}J\)

Trong quá trình chất khí truyền nhiệt và sinh công thì Q và A trong hệ thức \(\Delta U = A + Q\) phải có giá trị nào sau đây:
A.\(Q < 0;A > 0\)
B. \(Q > 0;A > 0\)
C.\(Q > 0;A < 0\)
D.\(Q < 0;A < 0\)

Khí thực hiện công trong quá trình nào sau đây ?
A.Nhiệt lượng mà khí nhận được lớn hơn độ tăng nội năng của khí.
B.Nhiệt lượng mà khí nhận được nhỏ hơn độ tăng nội năng của khí
C.Nhiêt lượng mà khí nhận được bằng độ tăng nội năng của khí
D. Nhiệt lượng mà khí nhận được có thể lớn hơn hoặc nhỏ hơn nhưng không thể bằng độ tăng nội năng của khí.

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến