a) Ta có D, E là trung điểm AB, AC nên DE là đường trung bình của tam giác ABC.
Vậy DE//BC và $DE = \dfrac{1}{2}BC$.
Suy ra tứ giác BCED là hình thang.
b) Do F là trung điểm BC nên $BF = FC = \dfrac{1}{2} BC = DE$.
Lại có $DE//BC$ nên $DE//BF$.
Xét tứ giác DEFB có DE//BF và DE = BF. Vậy tứ giác này là hình bình hành.
c) Do DE//BC nên DE//HF, do đó tứ giác HFED là hình thang.
Xét tam giác HAC vuông tại H, có HE là trung tuyến nên $HE = EA = EC = \dfrac{1}{2} AC$.
Lại có D, F là trung điểm AB, BC nên DF là đường trung bình của tam giác ABC, do đó $DF//AC$ và $DF = \dfrac{1}{2} AC$.
Vậy ta có $DF = HE = \dfrac{1}{2} AC$.
Xét hình thang HFED có DF = HE. Vậy tứ giác này là hình thang cân.
d) Để tứ giác DEFH là hình chữ nhật thì $\widehat{EFH} = 90^{\circ}$.
Vậy $EF \perp HF$ hay nói cách khác $EF \perp BC$.
Mặt khác, E và F là trung điểm AC, BC nên EF là đường trung bình của tam giác ABC, vậy EF//AB.
Vậy $AB \perp BC$ (từ vuông góc đến song song).
Do đó tam giác ABC là tam giác vuông tại B.
