$\Delta$ AHB và $\Delta$ AHC có:
AB= AC
BH= HC
AH chung
=> $\Delta$ AHB= $\Delta$ AHC (c.c.c)
=> $\widehat{AHB}= \widehat{AHC}= 90^o$ (vì là 2 góc kề bù)
=> $AH \bot BC$
$\Delta$ MBH và $\Delta$ NCH có:
$\widehat{BMH}= \widehat{CNH}= 90^o$
$\widehat{MBH}= \widehat{NCH}$
BH= CH
=> $\Delta$ MBH= $\Delta$ NCH (ch.gn)
=> MH= NH
$\Delta$ MHK và $\Delta$ NHI có:
$\widehat{KMH}= \widehat{INH}= 90^o$
$\widehat{MHK}= \widehat{NHI}$ (đối đỉnh)
MH= NH
=> $\Delta$ MKH = $\Delta$ NIH (g.c.g)
=> $\widehat{MKH}= widehat{NIH}$ (1) ; HK= HI
=> $\Delta$ IHK cân tại H
=> $\widehat{HKI}= \widehat{HIK}$ (2)
Lấy (1) cộng (2) ta có $\widehat{AKI}= \widehat{AIK}$
=> $\Delta$ AKI cân tại A
=> $\widehat{AKI}= \frac{180^o - \hat{A} }{2}$
$\Delta$ AMN cân A nên $\widehat{AMN}= \frac{180^o - \hat{A} }{2}$
=> $\widehat{AMN}= \widehat{AKI}$
=> MN//KI (đồng vị)
