Giải thích các bước giải:

 Gọi $G $ là trọng tâm của tam giác $ABC$ và $M$ là trung điểm của $BC$

Ta có:

Tọa độ của $G$ thỏa mãn hệ phương trình:

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
2x - y + 1 = 0\\
x + y - 4 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x =  - 5\\
y = 9
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow G\left( { - 5;9} \right)
\end{array}$

Ta có:

$\begin{array}{l}
\overrightarrow {AM}  = \dfrac{3}{2}\overrightarrow {AG} \\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_M} - \left( { - 2} \right) = \dfrac{3}{2}\left( { - 5 - \left( { - 2} \right)} \right)\\
{y_M} - 3 = \dfrac{3}{2}\left( {9 - 3} \right)
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_M} = \dfrac{{ - 13}}{2}\\
{y_M} = 12
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow M\left( {\dfrac{{ - 13}}{2};12} \right)
\end{array}$

+)TH1: $B \in \left( {{d_1}} \right):x + y - 4 = 0$ và $C \in \left( {{d_2}} \right):2x - y + 1 = 0$

$ \Rightarrow B\left( {b;4 - b} \right)$

Mà $M$ là trung điểm của $BC$ $ \Rightarrow C\left( { - 13 - b;20 + b} \right)$

Lại có:

$\begin{array}{l}
C \in \left( {{d_2}} \right):2x - y + 1 = 0\\
 \Leftrightarrow 2\left( { - 13 - b} \right) - \left( {20 + b} \right) + 1 = 0\\
 \Leftrightarrow  - 3b - 45 = 0\\
 \Leftrightarrow b =  - 15\\
 \Rightarrow B\left( { - 15;19} \right),C\left( {2;5} \right)
\end{array}$

Khi đó:

Phương trình của $BC$ là: $\dfrac{{x + 15}}{{2 + 15}} = \dfrac{{y - 19}}{{5 - 19}} \Rightarrow BC:14x + 17y - 253 = 0$

Phương trình của $AC$ là: $\dfrac{{x + 15}}{{ - 2 + 15}} = \dfrac{{y - 19}}{{3 - 19}} \Rightarrow AC:16x + 13y - 7 = 0$

Phương trình của $AB$ là: $\dfrac{{x - 2}}{{ - 2 - 2}} = \dfrac{{y - 5}}{{3 - 5}} \Rightarrow AB:x - 2y + 8 = 0$

+) TH2: $C \in \left( {{d_1}} \right):x + y - 4 = 0$ và $B \in \left( {{d_2}} \right):2x - y + 1 = 0$

Đảo vai trò của $B$ và $C$ ta có: $C\left( { - 15;19} \right),B\left( {2;5} \right)$

Và: 

Phương trình của $BC$ là: $\dfrac{{x + 15}}{{2 + 15}} = \dfrac{{y - 19}}{{5 - 19}} \Rightarrow BC:14x + 17y - 253 = 0$

Phương trình của $AB$ là: $\dfrac{{x + 15}}{{ - 2 + 15}} = \dfrac{{y - 19}}{{3 - 19}} \Rightarrow AC:16x + 13y - 7 = 0$

Phương trình của $AC$ là: $\dfrac{{x - 2}}{{ - 2 - 2}} = \dfrac{{y - 5}}{{3 - 5}} \Rightarrow AB:x - 2y + 8 = 0$