Cho \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện \(a + b + c = 3\). Tìm giá trị lớn nhất của biều thức \(P = a\sqrt {{b^3} + 1} + b\sqrt {{c^3} + 1} + c\sqrt {{a^3} + 1} \).A.\(\max P = 3\)B.\(\max P = 4\)C.\(\max P = 5\)D.\(\max P = 6\)

hue1976pt

2 năm trước

Cho \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện \(a + b + c = 3\). Tìm giá trị lớn nhất của biều thức \(P = a\sqrt {{b^3} + 1} + b\sqrt {{c^3} + 1} + c\sqrt {{a^3} + 1} \).
A.\(\max P = 3\)
B.\(\max P = 4\)
C.\(\max P = 5\)
D.\(\max P = 6\)

Loga Hóa Học lớp 12

0 lượt thích 19 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

hue1976pt

Đáp án đúng: C
Giải chi tiết:Vì \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số thực không âm nên áp dụng BĐT Cô-si ta có:
\(a\sqrt {{b^3} + 1} = a\sqrt {\left( {b + 1} \right)\left( {{b^2} - b + 1} \right)} \le a.\frac{{b + 1 + {b^2} - b + 1}}{2} = \frac{{a\left( {{b^2} + 2} \right)}}{2} = a + \frac{{a{b^2}}}{2}\)
Tương tự ta có: \(b\sqrt {{c^3} + 1} \le b + \frac{{b{c^2}}}{2};\,\,c\sqrt {{a^3} + 1} \le c + \frac{{c{a^2}}}{2}\)
Do đó:
\(\begin{array}{l}P = a\sqrt {{b^3} + 1} + b\sqrt {{c^3} + 1} + c\sqrt {{a^3} + 1} \\\,\,\,\, \le \left( {a + b + c} \right) + \frac{{a{b^2} + b{c^2} + c{a^2}}}{2} = 3 + \frac{{a{b^2} + b{c^2} + c{a^2}}}{2}\end{array}\)
Vì vai trò của \(a,\,\,b,\,\,c\) như nhau nên ta giả sử: \(a \le b \le c\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {b - a} \right)\left( {b - c} \right) \le 0\\ \Leftrightarrow {b^2} + ac \le ab + bc\\ \Rightarrow a{b^2} + {a^2}c \le {a^2}b + abc\\ \Rightarrow a{b^2} + {a^2}c + b{c^2} \le {a^2}b + abc + b{c^2} = b\left( {{a^2} + ac + {c^2}} \right)\end{array}\)
Vì \(ac \ge 0\) nên:
\(\begin{array}{l} \Rightarrow a{b^2} + {a^2}c + b{c^2} \le b\left( {{a^2} + ac + {c^2}} \right) \le b\left( {{a^2} + 2ac + {c^2}} \right) = b{\left( {a + c} \right)^2}\\b{\left( {a + c} \right)^2} = 4b.\frac{{a + c}}{2}.\frac{{a + c}}{2} \le 4.{\left( {\frac{{b + \frac{{a + c}}{2} + \frac{{a + c}}{2}}}{3}} \right)^3} = 4{\left( {\frac{{a + b + c}}{3}} \right)^3} = 4\end{array}\)
Suy ra \(a{b^2} + {a^2}c + b{c^2} \le 4 \Rightarrow P \le 3 + \frac{4}{2} = 5.\)
Vậy \(\max P = 5\) khi và chỉ khi \(a = 0,\,\,b = 1,\,\,c = 2\) và các hoán vị.
Chọn C.

Vote (0) Phản hồi (0) 2 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Sự kiện có tính đột phá làm xói mòn trật tự hai cực Ianta là
A.thắng lợi của cuộc kháng chiến chống Pháp ở Việt Nam (1954)
B.cách mạng Cuba lật đổ được chế độ độc tài Batixta (1959).
C.ba nước Inđônêxia, Việt Nam, Lào tuyên bố độc lập (1945)
D.cách mạng dân tộc dân chủ Trung Quốc thành công (1949)

Theo thỏa thuận của các cường quốc tại Hội nghị Ianta, Đông Nam Á thuộc phạm vi ảnh hưởng của
A.các nước phương Tây.
B.Mĩ, Anh và Liên Xô.
C.các nước Đông Âu.
D.Đức, Pháp và Nhật Bản.

Chính sách đối ngoại xuyên suốt của Mĩ từ sau Chiến tranh thế giới thứ hai đến năm 2000 là
A.Khống chế, chi phối các nước tư bản đồng minh phụ thuộc vào Mĩ
B.Triển khai chiến lược toàn cầu, thiết lập trật tự đơn cực với tham vọng bá chủ thế giới
C.Chống phá Liên Xô và các nước XHCN trên thế giới
D.Can thiệp vào công việc nội bộ của các nước, sau đó tiến hành chiến tranh xâm lược

Quốc gia đầu tiên trên thế giới phóng thành công vệ tinh nhân tạo là
A.Ấn Độ.
B.Nhật Bản.
C.Liên Xô.
D.Mỹ.

Kiểu khí hậu lục địa khô hạn ở châu Á có đặc điểm chung là:
A.Mùa đông lạnh khô, mùa hạ nóng ẩm.
B.Mùa đông lạnh có mưa, mùa hạ khô nóng.
C.Quanh năm nóng ẩm.
D.Mùa đông lạnh khô, mùa hạ nóng khô.

Các quốc gia nằm trong khu vực khí hậu gió mùa châu Á là:
A.Trung Quốc, Việt Nam, Lào, Cam-pu-chia.
B.Hàn Quốc, Nhật Bản, Phi-lip-pin, In-đô-nê-xi-a.
C.Thái Lan, Mi-an-ma, Việt Nam, Lào.
D.Thái Lan, Mi-an-ma, Trung Quốc, Cam-pu-chia.

Châu Á có hoang mạc và bán hoang mạc phát triển mạnh ở:
A.Tây Nam Á và vùng nội địa.
B.Tây Nam Á và Nam Á.
C.Vùng nội địa và Đông Nam Á.
D.Bắc Á và Đông Á.

Các sông lớn ở Bắc Á và Đông Á đổ ra các đại dương:
A.Bắc Băng Dương và Thái Bình Dương.
B.Bắc Băng Dương và Đại Tây Dương.
C.Thái Bình Dương và Ấn Độ Dương.
D.Ấn Độ Dương và Đại Tây Dương.

Do ảnh hưởng của chế độ mưa gió mùa nên sông ngòi ở Đông Á, Đông Nam Á, Nam Á có:
A.Lượng nước lớn nhất vào mùa xuân, cạn nhất vào mùa thu.
B.Lượng nước lớn nhất vào mùa hạ, cạn nhất vào mùa đông.
C.Lượng nước lớn nhất vào cuối hạ đầu thu, cạn nhất vào cuối đông đầu xuân.
D.Lượng nước lớn nhất vào cuối hạ đầu thu, cạn nhất vào cuối xuân đầu hạ.

Ý nào dưới đây không phải là nguyên tắc hoạt động của tổ chức Liên Hợp quốc?
A.Không can thiệp vào công việc nội bộ của bất kì nước nào.
B.Chung sống hòa bình và sự nhất trí giữa 5 nước lớn (Liên Xô, Mĩ, Anh, Pháp, Trung Quốc).
C.Không sử dụng vũ lực hoặc đe dọa bằng vũ lực đối với nhau.
D.Bình đẳng chủ quyền giữa các quốc gia và quyền tự quyết của các dân tộc.

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến