Đáp án:
a, Ta có:
`hat{ ABH}` + `hat{BAH}` = 90°
Mà `hat{ CAK}` + `hat{ BAH}` = 90°
⇒ `hat{ ABH}` = `hat{ CAK}`
Xét ΔABH và ΔCAK có:
`hat{ ABH}` = `hat{ CAK}` ( C/m trên)
AB = AC( ΔABC vuông cân tại A)
`hat{ AHB}` = `hat{ AKC}` = 90°
⇒ ΔABH = ΔCAK ( cạnh huyền - góc nhọn)
⇒ BH = AK ( 2 cạnh tương ứng)
b,
Ta có:
BH ⊥ AK
CK ⊥ AK
⇒ BH //CK
⇒`hat{MBH}` = `hat{ MCK}` ( 2 góc so le trong) (1)
`hat{MAE}` + `hat{ AEM}` = 90° (2)
`hat{MCK}` + `hat{CEK}` = 90° (3)
`hat{AEM}` = `hat{CEK}` ( 2 góc đối đỉnh) (4)
Từ (2), (3) , (4) ⇒ `hat{ MAE}` = `hat{ECK}` (5)
Từ (1) , (5) ⇒ `hat{MBH}` = `hat{MAE}`
Ta có AM là đường trung tuyến của Δ vuông ABC nên AM = MB = MC =`1/2` BC
Xét ΔMBH và ΔMAK có:
MB = MA (c/m trên)
`hat{ MBH}` = `hat{ MAK}`
BH = AK( c/m câu a)
⇒ Δ MBH = Δ MAK ( c -g -c)
c, Xét Δ AMH và Δ CMK có:
AH = CK(ΔABH = ΔCAK)
MH = MK( ΔMBH = ΔMAK)
AM = CM{ AM là đường trung tuyến)
⇒ ΔAMH = ΔCMK ( c - c - c)
⇒ `hat{ AMH}` = `hat{ CMK}` ( 2 góc tương ứng)
Mà:
`hat{AMH}` + `hat{HMC}` = 90°
⇒ `hat{ CMK}` + `hat{ HMC}` = 90°
⇒ `hat{HMK}` = 90°
Vì MH = MK (ΔMBH = MAK) ; `hat{HMK}` = 90°
⇒ ΔMHK là tam giác vuông cân tại M
