Bạn tự vẽ hình nhé!!!
a) Xét tứ giác AMHN có
góc MAN = góc AMH = góc ANH = 90 độ
=> AMHN là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết)
=> AH∩MN tại trung điểm mỗi đường và AH = MN (tính chất hình chữ nhật)
=> 1/2 AH = 1/2 MN
gọi I là giao của HA và MN
=> tam giác IAM cân tại I
=> góc IAM = góc IMA (t/c tam giác cân) (1)
Vì AMHN là hình chữ nhật
=> AM // HN
=> góc MAI = góc INH (so le trong) (2)
mà góc IHN + góc HAC = 90 độ
góc HAC + góc ACH = 90 độ
=> góc IHN = góc ACH (3)
Từ (1), (2), (3)
=> góc IMA = góc ACH
Xét tam giác AMN và tam giác ACB có
góc IMA = góc ACH
góc MAC = 90 độ
=> tam giác AMN đồng dạng với tam giác ACB (gg)
b) Vì tam giác AMN đồng dạng với tam giác ACB (cmt)
=> góc ANM = góc ABC (2 góc tương ứng)
Xét tam giác ABC vuông tại A có AO là trung tuyến
=> AO = OC = OB = 1/2 BC (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông)
Vì OA = OC (cmt)
=> tam giác AOC cân tại O
=> góc OAC = góc OCA (t/c tam giác cân)
Ta có:
góc ABC + góc ACB = 90 độ
góc ANM = góc ABC (cmt)
góc OAC = góc OCA (cmt)
=> góc ANM + góc CAO = 90 độ
=> AO ⊥ MN
