`a)`

Xét `2Δ` vuông `ABD` và `HBD` có:

              `hat{B_1}=hat{B_2}(g``t)`

                  `BD:chung`

`⇒ΔABD=ΔHBD(` cạnh huyền-góc nhọn `)`

`⇒AD=HD(2` cạnh tương ứng `)(đpcm)`

`b)`

Xét `ΔCDH` vuông tại `H`.Theo nhận xét về cạnh lớn nhất trong `Δ` vuông ta có:

                                                 `HD<DC`

Mà `AD=HD(cmt)`

`⇒AD<DC`

`c)`

Theo câu `a)ΔABD=ΔHBD(` cạnh huyền-góc nhọn `)`

`⇒AB=HB(2` cạnh tương ứng `)`

`⇒B` nằm trên đường trung trực của `AH(1)`

Ta có:`AD=HD(cmt)`

`⇒D` nằm trên đường trung trực của `AH(2)`

Từ `(1)` và `(2)⇒BD` là đường trung trực của `AH(đpcm)`

`d)`

Xét `2Δ` vuông `KAD` và `CHD` có:

   `hat{D_1}=hat{D_2}(2` góc đối đỉnh `)`

               `AD=HD(cmt)`

`⇒ΔKAD=ΔCHD(` cạnh góc vuông-góc nhọn kề `)`

`⇒AK=HC(2` cạnh tương ứng `)`

Ta có:`BK=AB+AK`

          `BC=HB+HC`

Mà `AB=HB(cmt)`

      `AK=HC(cmt)`

`⇒BK=BC`

`⇒ΔKBC` là `Δ` cân tại `B(đpcm)`

$\\$

`a,`

Xét `ΔABD` và `ΔHBD` có :

`hat{BAD}=hat{BHD}=90^o` (gt)

`BD` chung

`hat{ABD}=hat{HBD}` (gt)

`-> ΔABD = ΔHBD` (cạnh huyền - góc nhọn)

`-> AD=DH` (2 cạnh tương ứng)

$\\$

`b,`

Xét `ΔDHC` có :

`hat{DHC}=90^o` (gt)

Áp dụng quan hệ giữa góc và cạnh đối diện có "

`DC` là cạnh lớn nhất

`-> DH < DC`

mà `AD=DH` (cmt)

`-> AD < DC`

$\\$

`c,`

Do `ΔABD = ΔHBD` (cmt)

`-> AB=HB` (2 cạnh tương ứng)

`-> B` nằm trên đường trung trực của `AH` `(1)`

Có : `AD=DH` (cmt)

`-> D` nằm trên đường trung trực của `AH` `(2)`

Từ `(1), (2)`

`-> BD` là đường trung trực của `AH`

$\\$

`d,`

Xét `ΔADK` và `ΔHDC` có :

`hat{ADK}=hat{HDC}` (2 góc đối đỉnh)

`AD=DH` (cmt)

`hat{KAD}=hat{CHD}=90^o` (gt)

`-> ΔADK = ΔHDC` (góc - cạnh - góc)

`-> AK=HC` (2 cạnh tương ứng)

Có : `AB + AK = BK`

Có : `HB + HC = BC`

mà `AB=HB` (cmt) và `AK=HC` (cmt)

`-> BK=BC`

`-> ΔKBC` cân tại `B`