$a) ΔADE$ cân tại $A$
$⇒ ∠D = ∠E$
$⇒ AD=AE$
$ΔADB = ΔAEC (c-g-c)$
$⇒ AB = AC$
$⇒ ΔABC$ là $Δ$ cân
$b) ΔBMD ⊥ M$
Và $ΔCNE ⊥ N$
$∠M = ∠N = 90^0$
$∠D = ∠E$
$BD = CE$
$⇒ BMD = CNE (ch-gn)$
$⇒ BM = CN$
$c) ΔBMD = ΔCNE$
$⇒ ∠MBD = ∠NCE$
$⇒ ∠CBI = ∠BCI$
$⇒ ΔIBC$ cân tại $I$
$d) $Lấy $H$ là trung điểm $BC $
$ΔABC$ cân tại $A$ có $AH$ là đường trung tuyến ứng với $BC$
$⇒ AH$ vừa là trung tuyến vừa là đường cao ứng với $BC$
$⇒ A,I,H$ thẳng hàng
$⇒ AI$ vừa là trung tuyến vừa là đường cao $ΔABC$ cân tại $A$
$⇒ đpcm$