Giải thích các bước giải:
Ta có:
$A\left( { - 1,2} \right);B\left( {1,3} \right);C\left( {2,2} \right)$
a) Ta có:
$\overrightarrow {OA} = \left( { - 1,2} \right);\overrightarrow {OB} = \left( {1,3} \right)$
$ \Rightarrow \overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} $ không cùng phương.
$\to O,A,B$ không thẳng hàng.
b) Gọi $M\left( {x,0} \right)$
$M,A,B$ thẳng hàng
$ \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {AB} $ cùng phương
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \dfrac{{x + 1}}{2} = \dfrac{{0 - 2}}{1}\\
\Leftrightarrow x + 1 = - 4\\
\Leftrightarrow x = - 5
\end{array}$
Vậy $M\left( { - 5,0} \right)$
c) Ta có:
Giao điểm của $OA$ và $OB$ chính là $O$
$\begin{array}{l}
\Rightarrow N \equiv O\\
\Rightarrow N\left( {0,0} \right)
\end{array}$
Vậy $N\left( {0,0} \right)$
d) Gọi $E(x,0)$
Ta có:
$\begin{array}{l}
\overrightarrow {BE} = \left( {x - 1, - 3} \right)\\
\Rightarrow BE = \sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} = \sqrt {{x^2} - 2x + 10}
\end{array}$
Mà $BE = 5$
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 2x + 10} = 5\\
\Leftrightarrow {x^2} - 2x + 10 = 25\\
\Leftrightarrow {x^2} - 2x - 15 = 0\\
\Leftrightarrow \left( {x - 5} \right)\left( {x + 3} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 5\\
x = - 3
\end{array} \right.
\end{array}$
Vậy $E\left( {5,0} \right)$ hoặc $E\left( { - 3,0} \right)$
e) Gọi $M(x,y)$
Ta có:
$\begin{array}{l}
\overrightarrow {MA} = \left( { - 1 - x,2 - y} \right)\\
\overrightarrow {MB} = \left( {1 - x,3 - y} \right)\\
\overrightarrow {MC} = \left( {2 - x,2 - y} \right)\\
\Rightarrow 2\overrightarrow {MA} + 3\overrightarrow {MB} - \overrightarrow {MC} = \left( {-1-4x,11-4yy} \right)
\end{array}$
Khi đó:
$2\overrightarrow {MA} + 3\overrightarrow {MB} - \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 $
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
-1 - 4x = 0\\
11 - 4y = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \dfrac{-1}{4}\\
y = \dfrac{11}{4}
\end{array} \right.
\end{array}$
$ \Rightarrow M\left( {\dfrac{-1}{4},\dfrac{11}{4}} \right)$
Vậy $M\left( {\dfrac{-1}{4},\dfrac{11}{4}} \right)$
f) Gọi $K(x,y)$
Ta có:
$K$ cách đều $A$ và $B$
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow KA = KB\\
\Leftrightarrow \left| {\overrightarrow {KA} } \right| = \left| {\overrightarrow {KB} } \right|\\
\Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {{\left( {y - 2} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {y - 3} \right)}^2}} \\
\Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2}\\
\Leftrightarrow {x^2} + 2x + 1 + {y^2} - 4y + 4 = {x^2} - 2x + 1 + {y^2} - 6y + 9\\
\Leftrightarrow 4x + 2y = 5\\
\Leftrightarrow y = \dfrac{5}{2} - 2x
\end{array}$
$ \Rightarrow K\left( {x,\dfrac{5}{2} - 2x} \right)$
Vậy $K\left( {x,\dfrac{5}{2} - 2x} \right)$ thỏa mãn.
