Xét (O) có:
+AE là tiếp tuyến, E là tiếp điểm ⇒ AE ⊥ OE ⇒ $\widehat{AEO}=90°$
+AF là tiếp tuyến, F là tiếp điểm ⇒ AF ⊥ OF ⇒ $\widehat{AFO}=90°$
Xét tứ giác AEOF có: $\widehat{AEO}+\widehat{AFO}=90°+90°=180°$
Mà hai góc này ở vị trí đối nhau
⇒ Tứ giác AEOF nội tiếp đường tròn đường kính AO
Xét (O) có:
BC là dây không đi qua tâm
I là trung điểm của BC
⇒ OI ⊥ BC ⇒ $\widehat{OIB}=90°$ Hay $\widehat{OIA}=90°$
Xét tứ giác AEIO có: $\widehat{OIA}=\widehat{AEO}=90°$
Tứ giác có hai đỉnh I và E cùng nhìn OA dưới một góc vuông
⇒ Tứ giác AEIO nội tiếp đường tròn đường kính AO