Cho ba số \(a,b,c\)nguyên dương, nguyên tố cùng nhau và thỏa mãn điều kiện \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}\). Chứng minh \(a+b\) là số chính phương A. B. C. D.
Đáp án đúng: Giải chi tiết:Ta có: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}\Leftrightarrow \frac{a+b}{ab}=\frac{1}{c}\Leftrightarrow c\left( a+b \right)=ab\Leftrightarrow ab-ac-bc=0\) \(\Leftrightarrow ab-ac-bc+{{c}^{2}}={{c}^{2}}\Leftrightarrow \left( a-c \right)\left( b-c \right)={{c}^{2}}\) Nếu \(d\) là ước nguyên dương của \(a-c\) và \(b-c\) thì \({{c}^{2}}\vdots {{d}^{2}}\Rightarrow c\vdots d\) Suy ra \(d\) là ước chung của \(a,b,c\). Mà \(a,b,c\) nguyên tố cùng nhau từng đôi một nên \(d=1\) Nên \(a-c\) và \(b-c\) không có ước lớn hơn 1, do đó \(\left( a-c \right)\left( b-c \right)\) là số chính phương và \(a-c\), \(b-c\) là hai số chính phương khác nhau. Đặt \(\left\{ \begin{align} & a-c={{k}^{2}} \\ & b-c={{m}^{2}} \\\end{align} \right.\left( k,m\in N;k\ne m \right)\Rightarrow {{k}^{2}}{{m}^{2}}={{c}^{2}}\Leftrightarrow c=km\) \(\Rightarrow a+b=\left( a-c \right)+\left( b-c \right)+2c={{k}^{2}}+{{m}^{2}}+2km={{\left( k+m \right)}^{2}}\) Vậy \(a+b\) là số chính phương