Đáp án:
`P_{max}=6` khi `x=y=z=2`
Giải thích các bước giải:
Đặt: $\begin{cases}a=\sqrt{x+y}\\b=\sqrt{y+z}\\c=\sqrt{z+x}\end{cases}\ (a;b;c\ge 0)$
Vì `x+y+z=6`
`=>a^2+b^2+c^2=2(x+y+z)=12`
Ta có:
`(a-b)^2\ge 0<=>a^2+b^2\ge 2ab`
`(b-c)^2\ge 0<=>b^2+c^2\ge 2bc`
`(a-c)^2\ge 0<=>a^2+c^2\ge 2ac`
`=>2(a^2+b^2+c^2)\ge 2ab+2bc+2ac`
`<=>a^2+b^2+c^2+2(a^2+b^2+c^2)`
`\ge a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac`
`<=>3(a^2+b^2+c^2)\ge (a+b+c)^2`
`<=>3.12\ge (a+b+c)^2`
`<=>a+b+c\le 6` (vì `a+b+c\ge 0)`
Dấu "=" xảy ra khi `a=b=c=2`
`=>x=y=z=2`
Vậy `P=\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x}` có $GTLN$ bằng $6$ khi `x=y=z=2`
