Cho ba số thực dương \(x,y,z\) thỏa mãn điều kiện \(x + y + z = xyz\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(Q = \dfrac{{y + 2}}{{{x^2}}} + \dfrac{{z + 2}}{{{y^2}}} + \dfrac{{x + 2}}{{{z^2}}}\)A.\(\sqrt 3 + 1\)B.\(\sqrt 3 \)C.\(2\sqrt 3 \)D.\(\sqrt 3 +2\)

0987362429

2 năm trước

Cho ba số thực dương \(x,y,z\) thỏa mãn điều kiện \(x + y + z = xyz\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(Q = \dfrac{{y + 2}}{{{x^2}}} + \dfrac{{z + 2}}{{{y^2}}} + \dfrac{{x + 2}}{{{z^2}}}\)
A.\(\sqrt 3 + 1\)
B.\(\sqrt 3 \)
C.\(2\sqrt 3 \)
D.\(\sqrt 3 +2\)

Loga Hóa Học lớp 12

0 lượt thích 32 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

haivansonla82

Đáp án đúng: D

Giải chi tiết:Ta có: \(x + y + z = xyz \Rightarrow \dfrac{1}{{xy}} + \dfrac{1}{{yz}} + \dfrac{1}{{zx}} = 1\)
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{1}{x}\\b = \dfrac{1}{y}\\c = \dfrac{1}{z}\end{array} \right.\left( {a,b,c > 0} \right)\) \( \Rightarrow ab + bc + ca = 1\).
Khi đó
\(\begin{array}{l}Q = {a^2}\left( {\dfrac{1}{b} + 2} \right) + {b^2}\left( {\dfrac{1}{c} + 2} \right) + {c^2}\left( {\dfrac{1}{a} + 2} \right)\\\,\,\,\, = \left( {\dfrac{{{a^2}}}{b} + \dfrac{{{b^2}}}{c} + \dfrac{{{c^2}}}{a}} \right) + 2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\end{array}\)
Áp dụng BĐT \(\dfrac{{{x^2}}}{a} + \dfrac{{{y^2}}}{b} \ge \dfrac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{{a + b}}\) ta có:
\(\dfrac{{{a^2}}}{b} + \dfrac{{{b^2}}}{c} + \dfrac{{{c^2}}}{a} \ge \dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{b + c}} + \dfrac{{{c^2}}}{a} \ge \dfrac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{{a + b + c}} = a + b + c\)
Lại có:
\(\begin{array}{l}{a^2} + {b^2} \ge 2ab\\{b^2} + {c^2} \ge 2bc\\{c^2} + {a^2} \ge 2ca\\ \Rightarrow 2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge 2\left( {ab + bc + ca} \right)\\ \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge ab + bc + ca\end{array}\)
\(\begin{array}{l}{\left( {a + b + c} \right)^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2bc + 2ca\\ \ge ab + bc + ca + 2ab + 2bc + 2ca\\ = 3\left( {ab + bc + ca} \right)\\ \Rightarrow a + b + c \ge \sqrt {3\left( {ab + bc + ca} \right)} = \sqrt 3 \end{array}\)
Do đó
\(\begin{array}{l}\left( {\dfrac{{{a^2}}}{b} + \dfrac{{{b^2}}}{c} + \dfrac{{{c^2}}}{a}} \right) + 2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\\ \ge a + b + c + 2\left( {ab + bc + ca} \right)\\ \ge \sqrt 3 + 2\end{array}\)
Vậy \({Q_{\min }} = \sqrt 3 + 2\).
Dấu “=” xảy ra khi \(a = b = c = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow x = y = z = \sqrt 3 \).
Chọn D.

Vote (0) Phản hồi (0) 2 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + 3y = 4\\2x - 3y = - 1\end{array} \right.\)
A.\(\left( {x;y} \right) = \left( { - 1;1} \right)\)
B.\(\left( {x;y} \right) = \left( { - 2;2} \right)\)
C.\(\left( {x;y} \right) = \left( {2;1} \right)\)
D.\(\left( {x;y} \right) = \left( {1;1} \right)\)

Một thửa đất hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng \(4m\) và có diện tích là \(320{m^2}\). Tính chu vi thửa đất đó.
A.\(88m\)
B.\(56m\)
C.\(72m\)
D.\(76m\)

Nhiệt phân sắt (III) hiđroxit thu được sản phẩm là:
A.Fe2O3.
B.Fe.
C.Fe2O3 và H2O.
D.Fe và H2O.

Cho parabol \(\left( P \right):\,\,\,y = {x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right):\,\,\,y = 2x + 3\)
a) Vẽ parabol \(\left( P \right)\) và đường thẳng \(\left( d \right)\) trên cùng một mặt phẳng tọa độ \(Oxy.\)
b) Tìm tọa độ giao điểm của parabol \(\left( P \right)\) và đường thẳng \(\left( d \right)\) bằng phép tính.
A.\(b)\,\,\left( {3;9} \right)\,;\,\,\left( { - 1;1} \right)\)
B.\(b)\,\,\left( { - 3;9} \right)\,;\,\,\left( { - 1;1} \right)\)
C.\(b)\,\,\left( {3;9} \right)\,;\,\,\left( {1;1} \right)\)
D.\(b)\,\,\left( { - 3;9} \right)\,;\,\,\left( {1;1} \right)\)

Cho phương trình \({x^2} + 5x + m - 2 = 0\) (\(m\) là tham số). Tìm các giá trị của \(m\) để phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,{x_2}\) thỏa mãn hệ thức
\(\dfrac{1}{{{{\left( {{x_1} - 1} \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {{x_2} - 1} \right)}^2}}} = 1\)
A.\(m = - 5 \pm 5\sqrt 2 \)
B.\(m = - 2 \pm 2\sqrt 2 \)
C.\(m = \pm 2\)
D.\(m = \pm 1\)

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) cho hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right):\,\,\,y = x - 3\) và \(\left( {{d_2}} \right):\,\,\,y = - 3x + 1.\)
a) Vẽ đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy.\)
b) Tìm tọa độ giao điểm của \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\) bằng phép tính.
c) Viết phương trình đường thẳng \(\left( d \right)\) có dạng \(y = ax + b,\) biết \(\left( d \right)\) song song với \(\left( {{d_1}} \right)\) và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \(7.\)
A.\(b)\,\,\left ( 1; - 2 \right )\\c)\,\,\left ( d \right ):\,\,y = x + 7\)
B.\(b)\,\,\left ( - 1; - 4 \right )\\c)\,\,\left ( d \right ):\,\,y = -3x + 7\)
C.\(b)\,\,\left ( 2; - 1 \right )\\c)\,\,\left ( d \right ):\,\,y = - x + 7\)
D.\(b)\,\,\left ( 1; - 2 \right )\\c)\,\,\left ( d \right ):\,\,y = 2x + 7\)

Giải phương trình \(\sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2}} = 2\).
A.\(S = \left \{ 1; - 3 \right \}\)
B.\(S = \left \{ 1; 3 \right \}\)
C.\(S = \left \{ - 1; - 3 \right \}\)
D.\(S = \left \{ - 1; 3 \right \}\)

Con đường giải phóng dân tộc của Nguyễn Ái Quốc lựa chọn trong những năm 20 của thế kỉ XX khác biệt hoàn toàn với các con đường cứu nước trước đó về
A.lực lượng cách mạng.
B.mục tiêu trước mắt.
C.đối tượng cách mạng.
D.khuynh hướng chính trị.

Đường bay lên của một máy bay tạo với phương nằm ngang một góc là \({20^0}\) (như hình vẽ). Để đạt được độ cao là \(5000m\) thì máy bay đó bay được quãng đường là bao nhiêu? (kết quả làm tròn đến đơn vị mét).
A.\(15077m\)
B.\(12110m\)
C.\(14619m\)
D.\(13684m\)

Tác động lớn nhất của các chương trình khai thác thuộc địa của thực dân Pháp đối với xã hội Việt Nam đó là?
A.Làm cho các giai cấp cũ bị phân hóa sâu sắc.
B.Làm xuất hiện các giai cấp mới.
C.Giai cấp công nhân ngày càng lớn mạnh.
D.Giai cấp cũ bị phân hóa, xuất hiện các giai cấp mới.

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến