Đáp án:
`a)` `A=\sqrt{x}-1` với `x\ge 0; x\ne 1`
`b)` `x=1/{16}` thì `Max\ A-2x=-7/8`
Giải thích các bước giải:
`a)` `A=({2x+\sqrt{x}}/{x\sqrt{x}-1}-{\sqrt{x}+1}/{1+\sqrt{x}+x}).({x\sqrt{x}+1}/{\sqrt{x}+1}-\sqrt{x})`
`\qquad (x\ge 0; x\ne 1)`
`={2x+\sqrt{x}-(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)}/{(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)} .({(\sqrt{x}+1)(x-\sqrt{x}+1)}/{\sqrt{x}+1}-\sqrt{x})`
`={2x+\sqrt{x}-(x-1)}/{(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)}. (x-\sqrt{x}+1-\sqrt{x})`
`={x+\sqrt{x}+1}/{(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)}. (x-2\sqrt{x}+1)`
`=1/{\sqrt{x}-1}. (\sqrt{x}-1)^2=\sqrt{x}-1`
Vậy `A=\sqrt{x}-1` với `x\ge 0; x\ne 1`
$\\$
`b)` `A-2x=\sqrt{x}-1-2x`
`=-2(x-1/2\sqrt{x})-1`
`=-2[x-2\sqrt{x}. 1/4+(1/4)^2]+2. (1/4)^2-1`
`=-2(\sqrt{x}-1/4)^2-7/8`
Với mọi `x\ge 0;x\ne 1` ta có:
`\qquad (\sqrt{x}-1/4)^2\ge 0`
`=> -2(\sqrt{x}-1/4)^2\le 0`
`=> -2(\sqrt{x}-1/4)^2-7/8\le -7/8`
`=>A-2x\le -7/8`
Dấu "=" xảy ra khi:
`\qquad (\sqrt{x}-1/4)^2=0`
`<=>\sqrt{x}=1/4<=>x=1/{16}\ (thỏa\ mãn)`
Vậy `x=1/{16}` thì `A-2x` đạt $GTLN$ bằng `-7/8`
