Giải thích các bước giải:
$a) P$ xác định khi và chỉ khi $x \neq 1$
$P = \left ( \dfrac{2x^{2} + 1}{x^{3} - 1} - \dfrac{1}{x - 1} \right ) : \left ( 1 - \dfrac{x^{2} + 4}{x^{2} + x + 1} \right )$
$= \left [ \dfrac{2x^{2} + 1}{\left ( x - 1 \right )\left ( x^{2} + x + 1 \right )} - \dfrac{1}{x - 1} \right ] : \dfrac{x^{2} + x + 1 - x^{2} - 4}{x^{2} + x + 1}$
$= \dfrac{2x^{2} + 1 - x^{2} - x - 1}{\left ( x - 1 \right )\left ( x^{2} + x + 1 \right )} : \dfrac{x - 3}{x^{2} + x + 1}$
$= \dfrac{x^{2} - x}{\left ( x - 1 \right )\left ( x^{2} + x + 1 \right )} : \dfrac{x - 3}{x^{2} + x + 1}$
$= \dfrac{x\left ( x - 1 \right )}{\left ( x - 1 \right )\left ( x^{2} + x + 1 \right )} : \dfrac{x - 3}{x^{2} + x + 1}$
$= \dfrac{x}{x^{2} + x + 1} : \dfrac{x - 3}{x^{2} + x + 1}$
$= \dfrac{x}{x^{2} + x + 1}.\dfrac{x^{2} + x + 1}{x - 3}$
$= \dfrac{x}{x - 3}$
$b)$ Ta có $x = -6 \neq 1 \left ( TMĐK \right )$ nên thay $x = -6$ vào $P$ ta có:
$P = \dfrac{x}{x - 3} = \dfrac{-6}{-6 - 3} = \dfrac{2}{3}$
$c) P$ nguyên khi và chỉ khi:
$\dfrac{x}{x - 3}$ nguyên
$\Leftrightarrow x \vdots x - 3$
$\Leftrightarrow x - 3 + 3 \vdots x - 3$
$\Leftrightarrow 3 \vdots x - 3$
$\Leftrightarrow x - 3 \in Ư\left ( 3 \right )$
$\Leftrightarrow x - 3 \in \left \{ -3; -1; 1; 3 \right \}$
$\Leftrightarrow x \in \left \{ 0; 2; 4; 6 \right \}$
