Đáp án đúng: A
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức đưa thừa số ra ngoài dấu căn: \(\sqrt {{A^2}B} = \left| A \right|\sqrt B = \left\{ \begin{array}{l}A\sqrt B \,\,\,khi\,\,\,A \ge 0\\ - A\sqrt B \,\,\,khi\,\,\,A < 0\end{array} \right.,\,\,B \ge 0.\)Giải chi tiết:Điều kiện: \(x \ge 0,\,\,x \ne 1.\)
\(\begin{array}{l}Q = \left( {1 + \dfrac{{\sqrt x }}{{x + 1}}} \right):\left( {\dfrac{1}{{\sqrt x - 1}} - \dfrac{{2\sqrt x }}{{x\sqrt x + \sqrt x - x - 1}}} \right)\\\,\,\,\, = \dfrac{{x + \sqrt x + 1}}{{x + 1}}:\left( {\dfrac{1}{{\sqrt x - 1}} - \dfrac{{2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}} \right)\\\,\,\,\, = \dfrac{{x + \sqrt x + 1}}{{x + 1}}:\dfrac{{x + 1 - 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\\\,\,\, = \dfrac{{x + \sqrt x + 1}}{{x + 1}}:\dfrac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\\\,\,\, = \dfrac{{x + \sqrt x + 1}}{{x + 1}}:\dfrac{{\sqrt x - 1}}{{x + 1}}\\\,\,\, = \dfrac{{x + \sqrt x + 1}}{{x + 1}}.\dfrac{{x + 1}}{{\sqrt x - 1}} = \dfrac{{x + \sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}\end{array}\)
Để \(Q > 1\) \( \Leftrightarrow \dfrac{{x + 1 + \sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} > 1\) \( \Leftrightarrow \dfrac{{x + 1 + \sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} - 1 > 0\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{x + 1 + \sqrt x - \sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}} > 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{x + 2}}{{\sqrt x - 1}} > 0\end{array}\)
Với\(x \ge 0\) thì \(x + 2 > 0\) nên \(\dfrac{{x + 2}}{{\sqrt x - 1}} > 0 \Leftrightarrow \sqrt x - 1 > 0\)\( \Leftrightarrow \sqrt x > 1 \Leftrightarrow x > 1\)
Vậy với \(x > 1\) thì \(Q > 1.\)
Chọn A.
