Giải thích các bước giải:
Ta có:
a,
\(\begin{array}{l}
S = 8 + {7^2} + {7^3} + {7^4} + ..... + {7^{99}}\\
= 1 + 7 + {7^2} + {7^3} + ....... + {7^{99}}\\
= {7^0} + {7^1} + {7^2} + {7^3} + ..... + {7^{99}}
\end{array}\)
Số số hạng của tổng S sau khi viết lại như trên là: \(\left( {99 - 0} \right):1 + 1 = 100\) (số)
Do đó, ta có:
\(\begin{array}{l}
S = {7^0} + {7^1} + {7^2} + {7^3} + ..... + {7^{99}}\\
= \left( {{7^0} + {7^1} + {7^2}} \right) + \left( {{7^3} + {7^4} + {7^5}} \right) + ...... + \left( {{7^{96}} + {7^{97}} + {7^{98}}} \right) + {7^{99}}\\
= \left( {1 + 7 + {7^2}} \right) + {7^3}.\left( {1 + 7 + {7^2}} \right) + ..... + {7^{96}}.\left( {1 + 7 + {7^2}} \right) + {7^{99}}\\
= 57 + {7^3}.57 + ..... + {7^{96}}.57 + {7^{99}}\\
= 57.\left( {1 + {7^3} + {7^6} + ..... + {7^{96}}} \right) + {7^{99}}
\end{array}\)
\({7^{99}} = 7.7.7.....7\) nên \({7^{99}}\) không chia hết cho 57.
Mà \(57.\left( {1 + {7^3} + {7^6} + ..... + {7^{96}}} \right)\) chia hết cho 57.
Do đó, S không chia hết cho 57.
b,
\(\begin{array}{l}
S = 1 + 7 + {7^2} + {7^3} + {7^4} + ..... + {7^{99}}\\
\Leftrightarrow 7S = 7.\left( {1 + 7 + {7^2} + {7^3} + {7^4} + ..... + {7^{99}}} \right)\\
\Leftrightarrow 7S = 7.1 + 7.7 + {7.7^2} + {7.7^3} + ..... + {7.7^{99}}\\
\Leftrightarrow 7S = 7 + {7^2} + {7^3} + {7^4} + ..... + {7^{100}}\\
\Leftrightarrow 7S - S = \left( {7 + {7^2} + {7^3} + {7^4} + ..... + {7^{100}}} \right) - \left( {1 + 7 + {7^2} + {7^3} + {7^4} + ..... + {7^{99}}} \right)\\
\Leftrightarrow 6S = {7^{100}} - 1\\
\Leftrightarrow 6S + 1 = {7^{100}}\\
\Leftrightarrow P = {7^{50.2}}\\
\Leftrightarrow P = {\left( {{7^{50}}} \right)^2}
\end{array}\)
Suy ra P là một số chính phương.
