Đáp án đúng:
Phương pháp giải:
+ Để thu gọn đa thức ta thực hiện phép cộng các đơn thức đồng dạng.+ Bậc của đa thức là bậc của hạng tử có bậc cao nhất trong dạng thu gọn của đa thức đó. + Ta có thể mở rộng cộng (trừ) các đa thức dựa trên quy tắc “dấu ngoặc” và tính chất của các phép toán trên số.+ Đối với đa thức một biến đã sắp xếp còn có thể cộng (trừ) bằng cách đặt tính theo cột dọc tương tự cộng (trừ) các số.Giải chi tiết:a)\(\begin{array}{l}P\left( x \right) = - 2x + \frac{1}{2}{x^2} + 3{x^4} - 3{x^2} - 3\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 3{x^4} + \frac{1}{2}{x^2} - 3{x^2} - 2x - 3\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 3{x^4} - \frac{5}{2}{x^2} - 2x - 3\end{array}\)Vậy: \(P\) có bậc là \(4\); Hệ số cao nhất là \(3\); Hệ số tự do là \( - 3\)\(\begin{array}{l}Q\left( x \right) = 3{x^4} + {x^3} - 4{x^2} + 1,5{x^3} - 3{x^4} + 2x + 1\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 3{x^4} - 3{x^4} + {x^3} + 1,5{x^3} - 4{x^2} + 2x + 1\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{5}{2}{x^3} - 4{x^2} + 2x + 1\end{array}\)Vậy: \(Q\) có bậc là \(3\); Hệ số cao nhất là \(\frac{5}{2}\); Hệ số tự do là \(1\)b) \(\begin{array}{l}P\left( x \right) + Q\left( x \right) = \left( {3{x^4} - \frac{5}{2}{x^2} - 2x - 3} \right) + \left( {\frac{5}{2}{x^3} - 4{x^2} + 2x + 1} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 3{x^4} + \frac{5}{2}{x^3} - \frac{5}{2}{x^2} - 4{x^2} - 2x + 2x - 3 + 1\end{array}\) \( = 3{x^4} + \frac{5}{2}{x^3} - \frac{{13}}{2}{x^2} - 2\)\(\begin{array}{l}P\left( x \right) - Q\left( x \right) = \left( {3{x^4} - \frac{5}{2}{x^2} - 2x - 3} \right) - \left( {\frac{5}{2}{x^3} - 4{x^2} + 2x + 1} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 3{x^4} - \frac{5}{2}{x^2} - 2x - 3 - \frac{5}{2}{x^3} + 4{x^2} - 2x - 1\end{array}\) \(\begin{array}{l} = 3{x^4} - \frac{5}{2}{x^3} - \frac{5}{2}{x^2} + 4{x^2} - 2x - 2x - 3 - 1\\ = 3{x^4} - \frac{5}{2}{x^3} + \frac{3}{2}{x^2} - 4x - 4\end{array}\)c) \(R\left( x \right) + P\left( x \right) - Q\left( x \right) + {x^2} = 2{x^3} - \frac{3}{2}x + 1\)\( \Leftrightarrow R\left( x \right) + \left( {3{x^4} + \frac{5}{2}{x^3} - \frac{{13}}{2}{x^2} - 2} \right) - \left( {3{x^4} - \frac{5}{2}{x^3} + \frac{3}{2}{x^2} - 4x - 4} \right) + {x^2} = 2{x^3} - \frac{3}{2}x + 1\)\( \Leftrightarrow R\left( x \right) + 3{x^4} - 3{x^4} + \frac{5}{2}{x^3} + \frac{5}{2}{x^3} - \frac{{13}}{2}{x^2} - \frac{3}{2}{x^2} + {x^2} + 4x - 2 + 4 = 2{x^3} - \frac{3}{2}x + 1\)\( \Leftrightarrow R\left( x \right) + 5{x^3} - 7{x^2} + 4x + 2 = 2{x^3} - \frac{3}{2}x + 1\)\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow R\left( x \right) = 2{x^3} - \frac{3}{2}x + 1 - \left( {5{x^3} - 7{x^2} + 4x + 2} \right)\\ \Leftrightarrow R\left( x \right) = 2{x^3} - \frac{3}{2}x + 1 - 5{x^3} + 7{x^2} - 4x - 2\end{array}\)\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow R\left( x \right) = 2{x^3} - 5{x^3} + 7{x^2} - \frac{3}{2}x - 4x - 2 + 1\\ \Leftrightarrow R\left( x \right) = - 3{x^3} + 7{x^2} - \frac{{11}}{2}x - 1\end{array}\)
