Đáp án:
Giải thích các bước giải:
$\text{Dựng tam giác ABC vuông tại C với $ \widehat{B}> \widehat{A} $}$
$\text{Gọi E là trung điểm cạnh huyền AB, dựng trung trực của AB cắt AC tại D}$
$⇒ΔABD$ $\text{cân tại D}⇒\widehat{A} =\widehat{DBE}$
$⇒\widehat{CBD}=\widehat{B}-\widehat{A}$
$\text{Hai tam giác vuông ABC và ADE chung góc $\widehat{A}$ nên đồng dạng}$
$⇒\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AD}{AB}⇔\dfrac{AB}{2AC}=\dfrac{BD}{AB}$ (do $BD=AD$ và $AE=\dfrac{AB}{2}$)
$⇔\text{$\dfrac{2AC}{AB^2}=\dfrac{1}{BD}$}$
$\text{Xét tam giác vuông ABC ta có:}$
$\text{cosA.cosB+sinA.sinB=$\dfrac{AC}{AB}·\dfrac{BC}{AB}+\dfrac{BC}{AB}·\dfrac{AC}{AB}$}$
$⇔\text{cosA.cosB+sinA.sinB=$\dfrac{BC.2AC}{AB^2}=\dfrac{BC}{BD}$}$ (1)
$\text{Xét tam giác vuông BCD ta có:}$
$\text{cos$(\widehat{B}- \widehat{A})$=cos$\widehat{CBD}$=$\dfrac{BC}{BD}$}$ (2)
$\text{Từ (1) và (2) suy ra:}$
$\text{cos$(\widehat{B}- \widehat{A})$=cosA.cosB+sinA.sinB}$ (đpcm)