Đáp án đúng: D

Giải chi tiết:a) Chứng minh nếu \(ab \ge 16\) thì trong hai phương trình trên có ít nhất một phương trình có nghiệm.
Đặt \({x^2} + ax + 3 = 0\,\,\,\left( 1 \right)\) và \({x^2} + bx + 5 = 0\,\,\,\,\left( 2 \right)\).
Ta có: \({\Delta _1} = {a^2} - 12\), \({\Delta _2} = {b^2} - 20\).
Xét  \({\Delta _1} + {\Delta _2} = {a^2} + {b^2} - 32 \ge 2ab - 32 = 2.16 - 32 = 0\).
\( \Rightarrow {\Delta _1} + {\Delta _2} \ge 0\).
Do đó có ít nhất một trong hai \({\Delta _1},\,\,{\Delta _2}\) không âm.
Vậy trong hai phương trình đã cho có ít nhất một phương trình có nghiệm.
b) Giả sử hai phương trình trên có nghiệm chung \({x_0}\). Tìm \(a,\,\,b\) sao cho \(\left| a \right| + \left| b \right|\) có giá trị nhỏ nhất.
Đặt \({x^2} + ax + 3 = 0\,\,\,\left( 1 \right)\) và \({x^2} + bx + 5 = 0\,\,\,\,\left( 2 \right)\).
Ta có: \({\Delta _1} = {a^2} - 12\), \({\Delta _2} = {b^2} - 20\).
Hai phương trình trên đều có nghiệm \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\Delta _1} \ge 0\\{\Delta _2} \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} - 12 \ge 0\\{b^2} - 20 \ge 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}a \ge 2\sqrt 3 \\a \le  - 2\sqrt 3 \end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}b \ge 2\sqrt 5 \\b \le  - 2\sqrt 5 \end{array} \right.\end{array} \right.\,\,\,\,\left( {**} \right).\)
Phương trình \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) có nghiệm chung là \({x_0}\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x_0^2 + a{x_0} + 3 = 0\,\,\,\,\left( 1 \right)\\x_0^2 + b{x_0} + 5 = 0\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
+) Cộng \(\left( 1 \right)\) với \(\left( 2 \right)\) ta được: \(2x_0^2 + \left( {a + b} \right){x_0} + 8 = 0\,\,\,\,\,\,\left( {**} \right)\)
Phương trình \(\left( {**} \right)\) có nghiệm \({x_0} \Rightarrow \Delta  \ge 0\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {a + b} \right)^2} - 4.2.8 \ge 0\\ \Leftrightarrow {\left( {a + b} \right)^2} \ge 64\\ \Leftrightarrow \left| {a + b} \right| \ge 8\end{array}\)
Ta có: \(\left| a \right| + \left| b \right| \ge \left| {a + b} \right| \ge 8\)
\( \Rightarrow Min\left( {\left| a \right| + \left| b \right|} \right) = Min\left| {a + b} \right| = 8\)
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow ab \ge 0.\)
+) Trừ \(\left( 1 \right)\) cho \(\left( 2 \right)\) ta được: \(\left( {a - b} \right){x_0} - 2 = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {a - b} \right){x_0} = 2.\,\,\left( 3 \right)\)
Vì \(\left| a \right| + \left| b \right| \ge 8\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| a \right| + \left| b \right| = 8\\a = b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2\left| a \right| = 8\\a = b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = b = 4\,\,\,\left( {ktm\,\,\,\left( * \right)} \right)\\a = b =  - 4\,\,\,\left( {ktm\,\,\,\left( * \right)} \right)\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow a
e b.\)
\( \Rightarrow \left( 3 \right) \Leftrightarrow {x_0} = \dfrac{2}{{a - b}}\)
Ta có: \(\left| a \right| + \left| b \right| = 8\) \( \Leftrightarrow \left| b \right| = 8 - \left| a \right|\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 8 - a \Rightarrow {x_0} = \dfrac{2}{{a + a - 8}} = \dfrac{1}{{a - 4}}\\b =  - 8 - a \Rightarrow {x_0} = \dfrac{2}{{a + 8 + a}} = \dfrac{1}{{a + 4}}\end{array} \right.\)
Thay \({x_0} = \dfrac{1}{{a - 4}}\) vào \(\left( 1 \right)\) ta được:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,{\left( {\dfrac{1}{{a - 4}}} \right)^2} + \dfrac{a}{{a - 4}} + 3 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{1}{{a - 4}}} \right)^2} + \dfrac{{a + 3a - 12}}{{a - 4}} = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{1}{{a - 4}}} \right)^2} + \dfrac{{4\left( {a - 4} \right) + 4}}{{a - 4}} = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{1}{{a - 4}}} \right)^2} + \dfrac{4}{{a - 4}} + 4 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{1}{{a - 4}} + 2} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{a - 4}} + 2 = 0\\ \Leftrightarrow 2a - 8 + 1 = 0\\ \Leftrightarrow a = \dfrac{7}{2}\,\,\left( {tm\,\,\left( * \right)} \right)\\ \Rightarrow b = 8 - \dfrac{7}{2} = \dfrac{9}{2}\,\,\,\,\left( {tm\,\,\,\left( * \right)} \right)\end{array}\)
Thay \({x_0} = \dfrac{1}{{a + 4}}\) vào \(\left( 1 \right)\) ta được:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,{\left( {\dfrac{1}{{a + 4}}} \right)^2} + \dfrac{a}{{a + 4}} + 3 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{1}{{a + 4}}} \right)^2} + \dfrac{{a + 3a + 12}}{{a + 4}} = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{1}{{a + 4}}} \right)^2} + \dfrac{{4\left( {a + 4} \right) - 4}}{{a + 4}} = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{1}{{a + 4}}} \right)^2} - \dfrac{4}{{a + 4}} + 4 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{1}{{a + 4}} - 2} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{a + 4}} - 2 = 0\\ \Leftrightarrow 2a + 8 - 1 = 0\\ \Leftrightarrow a =  - \dfrac{7}{2}\,\,\left( {tm\,\,\left( * \right)} \right)\\ \Rightarrow b =  - 8 + \dfrac{7}{2} =  - \dfrac{9}{2}\,\,\,\,\left( {tm\,\,\,\left( * \right)} \right)\end{array}\)
Vậy \(\left( {a;\,\,b} \right) = \left\{ {\left( {\dfrac{7}{2};\,\,\dfrac{9}{2}} \right);\,\,\left( { - \dfrac{7}{2}; - \dfrac{9}{2}} \right)} \right\}.\)
Chọn D.