Đáp án:
Ta có
`a/(1 + a) + b/(1 + b) + c/(1 + c) + d/(1 + d) ≤ 1`
`-> b/(1 + b) + c/(1 + c) + d/(1 + d) ≤ 1 - a/(1 + a) = 1/(1 + a)`
Áp dụng AM-GM ta có
`1/(1 + a) ≥ b/(1 + b) + c/(1 + c) + d/(1 + d)` $≥ 3\sqrt[3]{\dfrac{b}{1 + b} . \dfrac{c}{1 + c} . \dfrac{d}{1 + d}} = 3\sqrt[3]{\dfrac{bcd}{(1 + b)(1 + c)(1 + d)}}$
tương tư
`-> 1/(1 + b) ≥ c/(1 + c) + d/(1 + d) + a/(1 + a)` $≥ 3\sqrt[3]{\dfrac{c}{1 + c} . \dfrac{d}{1 + d} . \dfrac{a}{1 + a}} = 3\sqrt[3]{\dfrac{cda}{(1 + c)(1 + d)(1 + a)}}$
`-> 1/(1 + c) ≥ d/(1 + d) + a/(1 + a) + b/(1 + b)` $≥ 3\sqrt[3]{\dfrac{d}{1 + d} . \dfrac{a}{1 + a} . \dfrac{b}{1 + b}} = 3\sqrt[3]{\dfrac{dab}{(1 + d)(1 + a)(1 + b)}}$
`-> 1/(1 + d) ≥ a/(1 + a) + b/(1 + b) + c/(1 + c)` $≥ 3\sqrt[3]{\dfrac{a}{1 + a} . \dfrac{b}{1 + b} . \dfrac{c}{1 + c}} = 3\sqrt[3]{\dfrac{abc}{(1 + a)(1 + b)(1 + c)}}$
Nhân từng vế lại ta được
`1/[(1 + a)(1 + b)(1 + c)(1 + d)] ≥` $3\sqrt[3]{\dfrac{bcd}{(1 + b)(1 + c)(1 + d)}} . 3\sqrt[3]{\dfrac{cda}{(1 + c)(1 + d)(1 + a)}} . 3\sqrt[3]{\dfrac{dab}{(1 + d)(1 + a)(1 + b)}} . 3\sqrt[3]{\dfrac{abc}{(1 + a)(1 + b)(1 + c)}} = 81 . \sqrt[3]{\dfrac{(abcd)^3}{[(1 + a)(1 + b)(1 + c)(1 + d)]^3}} =\dfrac{81abcd}{[(1 + a)(1 + b)(1 + c)(1 + d)]}$
`-> 1/[(1 + a)(1 + b)(1 + c)(1 + d)] ≥ (81abcd)/[(1 + a)(1 + b)(1 + c)(1 + d)]`
`-> 1 ≥ 81abcd -> abcd ≤ 1/81`
Dấu "=" xảy ra `<=> a = b = c = d = 1/3`
Giải thích các bước giải:
