Đáp án:$Min_A=\dfrac{81}{4}\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{2}$
Giải thích các bước giải:
Đặt `A=(x+2/x)(y+2/y)`
`=(x+1/(4x)+7/(4x))(y+1/(4y)+7/(4y))`
Áp dụng BĐT cosi ta có:
`x+1/(4x)>=1`
`y+1/(4y)>=1`
`=>(x+2/x)(y+2/y)>=(7/(4x)+1)(7/(4y)+1)`(do `x,y>0` nên ta nhân được).
`<=>(x+2/x)(y+2/y)>=49/(16xy)+7/(4x)+7/(4y)+1`
Áp dụng BDDT bunhia dạng phân thức ta có:
`1/x+1/y>=4/(x+y)`
Mà `x+y<=1`
`=>1/x+1/y>=4/(x+y)>=4`
`=>7/4(1/x+1/y)>=3`
`xy<=(x+y)^2/4(theo \ cauchy)`
`=>4xy<=(x+y)^2`
`<=>16xy<=4(x+y)^2<=4`
`<=>49/(16xy)>=9/4`
`=>49/(16xy)+7/(4x)+7/(4y)+1>=7+49/4+1=8+49/4=81/4`
`<=>(x+2/x)(y+2/y)>=9/(16xy)+3/(4x)+3/(4y)+1>=81/4`
Dấu "=" xảy ra khi $\begin{cases}x=\dfrac{1}{4x}\\y=\dfrac{1}{4y}\\x=y\\x+y=2\\x,y>0\\\end{cases}\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{2}$
