Cho các số dương \(x,y\) thoả mãn\(x + y \le \frac{4}{3}\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức\(S = x + y + \frac{3}{{4x}} + \frac{3}{{4y}}\)A.\(\frac{{43}}{{12}}\)B.\(\frac{{49}}{{12}}\)C.\(\frac{{44}}{{13}}\)D.\(\frac{{43}}{6}\)

trangtrangnhian

2 năm trước

Cho các số dương \(x,y\) thoả mãn\(x + y \le \frac{4}{3}\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\(S = x + y + \frac{3}{{4x}} + \frac{3}{{4y}}\)
A.\(\frac{{43}}{{12}}\)
B.\(\frac{{49}}{{12}}\)
C.\(\frac{{44}}{{13}}\)
D.\(\frac{{43}}{6}\)

Loga Hóa Học lớp 12

0 lượt thích 22 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

Ruby672000

Đáp án đúng: A
Giải chi tiết:Cho các số dương \(x,y\) thoả mãn\(x + y \le \frac{4}{3}\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(S = x + y + \frac{3}{{4x}} + \frac{3}{{4y}}\)
Ta có: \(S = \left( {x + \frac{4}{{9x}}} \right) + \left( {y + \frac{4}{{9y}}} \right) + \frac{{11}}{{36}}\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right)\).
Áp dụng bất đẳng thức Co-si có:
\(\begin{array}{l} + )\;x + \frac{4}{{9x}} \ge 2\sqrt {x.\frac{4}{{9x}}} = 2.\sqrt {\frac{4}{9}} = \frac{4}{3}\\ + )\;y + \frac{4}{{9y}} \ge 2\sqrt {y.\frac{4}{{9y}}} = 2\sqrt {\frac{4}{9}} = \frac{4}{3}\end{array}\)
Chứng minh bất đẳng thức phụ:
\(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \ge \frac{4}{{x + y}} \Leftrightarrow \frac{{x + y}}{{xy}} \ge \frac{4}{{x + y}} \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} \ge 4xy \Leftrightarrow {\left( {x - y} \right)^2} \ge 0\)(luôn đúng)
Áp dụng bất đẳng thức phụ trên có: \(\frac{{11}}{{36}}\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right) \ge \frac{{11}}{{36}}.\frac{4}{{x + y}}\)
Mà có \(x + y \le \frac{4}{3} \Rightarrow \frac{{11}}{{36}}.\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right) \ge \frac{{11}}{{36}}.\frac{4}{{x + y}} \ge \frac{{11}}{{36}}.\frac{4}{{\frac{4}{3}}} = \frac{{11}}{{12}}\).
\( \Rightarrow S = \left( {x + \frac{4}{{9x}}} \right) + \left( {y + \frac{4}{{9y}}} \right) + \frac{{11}}{{36}}\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right) \ge \frac{4}{3} + \frac{4}{3} + \frac{{11}}{{12}} = \frac{{43}}{{12}}\).
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{4}{{9x}}\\y = \frac{4}{{9y}}\\x + y = \frac{4}{3}\\x = y\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = \frac{2}{3}\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là \(\frac{{43}}{{12}}\) khi\(x = y = \frac{2}{3}\).
Chọn đáp án A.

Vote (0) Phản hồi (0) 2 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Trong thí nghiệm Y-âng về giao thoa ánh sáng nguồn phát đồng thời hai bức xạ đơn sắc λ1 = 0,64µm (đỏ), λ2 = 0,48µm (lam). Trên màn hứng vân giao thoa, trong đoạn giữa 3 vân sáng liên tiếp cùng màu với vân trung tâm có số vân đỏ và lam là :
A.4 vân đỏ, 6 vân lam.
B.6 vân đỏ, 4 vân lam.
C.7 vân đỏ, 9 vân lam.
D.9 vân đỏ, 7 vân lam.

Đánh giá sự ô nhiễm kim loại nặng trong nước thải của một nhà máy, người ta lấy một ít nước, cô đặc rồi thêm dung dịch Na2S vào thấy xuất hiện kết tủa màu vàng. Hiện tượng trên chứng tỏ nước thải bị ô nhiễm bởi ion
A.Cu2+
B.Fe2+
C.Cd2+
D.Pb2+

Trong thí nghiệm I-âng về giao thoa ánh sáng, khoảng cách giữa hai khe là a = 1mm, từ hai khe đến màn hứng là D = 2m, nguồn sáng gồm hai bức xạ đơn sắc λ1 = 0,6 µm và λ2 = 0,5 µm, nếu hai vân sáng của hai bức xạ trùng nhau ta chỉ tính là một vân sáng. Khoảng cách nhỏ nhất giữa hai vân sáng quan sát được trên màn là:
A.0,2 mm.
B.6 mm.
C.1 mm.
D.1,2 mm.

Cuối tháng 8 – 1789 đã diễn ra sự kiện lịch sử gì quan trọng đối với nước Pháp?
A.Cách mạng Pháp giành thắng lợi hoàn toàn.
B.Nền chuyên chính dân chủ cách mạng Giacôbanh được thành lập.
C.Thông qua Tuyên ngôn Nhân Quyền và Dân quyền.
D.Thông qua Tuyên ngôn Độc lập.

Lực lượng nào cầm quyền ở Pháp (14-7-1789 đến ngày 10-8-1792) sau khi cách mạng giành thắng lợi ở Pa-ri?
A.Phái lập hiến.
B. Phái Quốc hội.
C.Phái quân chủ.
D.Phái quý tộc.

Một nguồn sáng phát ra đồng thời hai ánh sáng đơn sắc màu đỏ có bước sóng λ1 = 0,72μm và bức xạ màu cam có bước sóng λ2 ( 0,59 < λ2 < 0,65) chiếu vào khe Iâng. Trên màn người ta quan sát thấy giữa vân sáng cùng màu và gần nhất so với vân trung tâm có 8 vân màu cam. Bước sóng của bức xạ λ2 là
A.0,62µm.
B.0,64µm.
C.0,56µm.
D.0,72µm.

Chiếu đồng thời hai bức xạ có bước sóng λ1 = 0,72 µm và λ2 vào khe Young thì trên đoạn AB ở trên màn quan sát thấy tổng cộng 19 vân sáng, trong đó có 6 vân sáng đơn sắc của riêng bức xạ λ1, 9 vân sáng đơn sắc của riêng bức xạ λ2. Ngoài ra, hai vân sáng ngoài cùng thì tại A và B khác màu với hai loại vân sáng đơn sắc trên. Bước sóng λ2 bằng:
A.0,64 µm
B.0,54 µm
C.0,42 µm
D.0,48 µm

Nội dung nào sau đây không thuộc ý nghĩa của cách mạng tư sản Pháp đối với đối với nước Pháp cuối thế kỉ XVIII?
A.Lật đổ chế độ quân chủ chuyên chế.
B. Đáp ứng được nhiều yêu cầu của quần chúng nhân dân.
C.Ảnh hưởng to lớn phong trào dân tộc, dân chủ ở các nước châu Âu.
D.Quần chúng nhân dân là động lực chính của cách mạng

Mặt hạn chế của Tuyên ngôn Nhân quyền và Dân quyền là gì?
A.Chỉ phục vụ cho quyền lực của giai cấp tư sản.
B.Phục vụ cho quyền lợi của giai cấp công nhân.
C.Phục vụ cho quyền lợi của tầng lớp địa chủ phong kiến.
D.Phục vụ cho các tầng lớp tham gia đấu tranh

Tuyên ngôn Nhân quyền và Dân quyền của nước Pháp đã thể hiện mặt tiến bộ ở điểm nào?
A.Đề cao vấn đề quyền tự do, bình đẳng của con người.
B.Bảo vệ quyền lợi cho tất cả các tầng lớp trong xã hội.
C.Bảo vệ quyền lợi cho giai cấp tư sản.
D. Giải quyết vấn đề quyền lợi cho quần chúng nhân dân.

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến