Đáp án:
$A = \dfrac{3}{2}$
Giải thích các bước giải:
ĐK: $0<x,y,z\le 1$
Ta có:
$\begin{array}{l}
x\sqrt {1 - {y^2}} + y\sqrt {1 - {z^2}} + z\sqrt {1 - {x^2}} = \dfrac{3}{2}\\
\Leftrightarrow 3 - 2\left( {x\sqrt {1 - {y^2}} + y\sqrt {1 - {z^2}} + z\sqrt {1 - {x^2}} } \right) = 0\\
\Leftrightarrow 3 - 2x\sqrt {1 - {y^2}} - 2y\sqrt {1 - {z^2}} - 2z\sqrt {1 - {x^2}} = 0\\
\Leftrightarrow \left( {{x^2} - 2x\sqrt {1 - {y^2}} + 1 - {y^2}} \right) + \left( {{y^2} - 2y\sqrt {1 - {z^2}} + 1 - {z^2}} \right) + \left( {{z^2} - 2z\sqrt {1 - {x^2}} + 1 - {x^2}} \right) = 0\\
\Leftrightarrow {\left( {x - \sqrt {1 - {y^2}} } \right)^2} + {\left( {y - \sqrt {1 - {z^2}} } \right)^2} + {\left( {z - \sqrt {1 - {x^2}} } \right)^2} = 0\\
\Leftrightarrow x - \sqrt {1 - {y^2}} = y - \sqrt {1 - {z^2}} = z - \sqrt {1 - {x^2}} = 0\\
\left( {do:{{\left( {x - \sqrt {1 - {y^2}} } \right)}^2} + {{\left( {y - \sqrt {1 - {z^2}} } \right)}^2} + {{\left( {z - \sqrt {1 - {x^2}} } \right)}^2} \ge 0,\forall x,y,z} \right)\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \sqrt {1 - {y^2}} \\
y = \sqrt {1 - {z^2}} \\
z = \sqrt {1 - {x^2}}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} = 1 - {y^2}\\
{y^2} = 1 - {z^2}\\
{z^2} = 1 - {x^2}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + {y^2} = 1\\
{y^2} + {z^2} = 1\\
{x^2} + {z^2} = 1
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \left( {{x^2} + {y^2}} \right) + \left( {{y^2} + {z^2}} \right) + \left( {{x^2} + {z^2}} \right) = 3\\
\Rightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} = \dfrac{3}{2}
\end{array}$
Vậy $A = \dfrac{3}{2}$
