Đổi biến \(\dfrac{{xy}}{z} = a,\dfrac{{yz}}{x} = b,\dfrac{{zx}}{y} = c\) đưa về bài toán cơ bản Giải chi tiết:Đặt \(\dfrac{{xy}}{z} = a,\dfrac{{yz}}{x} = b,\dfrac{{zx}}{y} = c\,\left( {a,b,c > 0} \right) \Rightarrow ab = {y^2},bc = {z^2},ca = {x^2} \Rightarrow ab + bc + ca = 1.\) Khi đó \(P = a + b + c.\) Ta có: \(\begin{array}{l}{\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {c - a} \right)^2} \ge 0\\ \Rightarrow 2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge 2\left( {ab + bc + ca} \right)\\ \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge ab + bc + ca\\ \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {ab + bc + ca} \right) \ge 3\left( {ab + bc + ca} \right)\\ \Rightarrow {\left( {a + b + c} \right)^2} \ge 3\left( {ab + bc + ca} \right)\\ \Rightarrow {\left( {a + b + c} \right)^2} \ge 3\\ \Rightarrow a + b + c \ge \sqrt 3 .\end{array}\) Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P\) là \(\sqrt 3 ,\) dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\) \( \Leftrightarrow x = y = z = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}.\) Chọn D.
