Ta có:`a²+b²+ab=c²+d²+cd⇔(a+b)²-(c+d)²=ab-cd⇔(a+b+c+d).(a+b-c-d)=ab-cd`
Giả sử ngược lại `,p=a+b+c+d `là số nguyên tố
Thế thì từ `ab-cd =p.(a+b-c-d)`, ta có :
(ab-cd) chia hết `p⇒ ab+c.(a+b+c) `đồng dư 0 (mod p)
`⇒(a+c).(c+b) `đồng dư 0 (mod p)
Nhưng điều này vô lí vì p là số nguyên tố và `a,b,c,d >0 nên 0<c+a,c+b<p`
`⇒(c+a,p)=1`⇒ không thể đồng dư 0 (mod p)
Vậy `a+b+c+d` là hợp số