Giải thích các bước giải:
Ta có: ( 1+$\frac{1}{a}$ )( 1+$\frac{1}{b}$ ) = $\frac{a+1}{a}$ . $\frac{b+1}{b}$
= $\frac{(a+1)(b+1)}{ab}$ = $\frac{ab+a+b+1}{ab}$ = $\frac{ab+2}{ab}$ ( do a+b=1 )
= 1 + $\frac{2}{ab}$
Ta có: 4ab ≤ (a+b)²
Thật vậy: 4ab ≤ a² + 2ab + b² ⇔ a² - 2ab + b² ≥ 0 ⇔ (a-b)² ≥ 0 ( luôn đúng )
Dấu " = " xảy ra ⇔ a=b
⇒ 4ab ≤ (a+b)² = 1 ⇒ ab ≤ $\frac{1}{4}$
⇒ $\frac{1}{ab}$ $\geq$ 4 ⇒ $\frac{2}{ab}$ $\geq$ 8
⇒ 1 + $\frac{2}{ab}$ ≥ 1 + 8 =9
hay ( 1+$\frac{1}{a}$ )( 1+$\frac{1}{b}$ ) ≥ 9 (đpcm)
Dấu " = " xảy ra ⇔ $\left \{ {{a=b} \atop {a+b=1}} \right.$ ⇔ a=b=$\frac{1}{2}$
