Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Ta có đánh giá sau:
$\frac{a^6+b^6}{a^4+b^4+a^2b^2} \geq \frac{a^2+b^2}{3}$ (1) với mọi a;b
Thật vậy, BĐT trên tương đương:
$3(a^6+b^6) \geq (a^2+b^2)(a^4+b^4+a^2b^2)$
$⇔a^6-a^4b^2-a^2b^4+b^6 \geq 0$
$⇔a^4(a^2-b^2)-b^4(a^2-b^2) \geq 0$
$⇔(a^4-b^4)(a^2-b^2) \geq 0$
$⇔(a^2-b^2)^2(a^2+b^2) \geq 0$ (luôn đúng)
Tương tự, ta cũng có: $\frac{b^6+c^6}{b^4+c^4+b^2c^2} \geq \frac{b^2+c^2}{3}$ (2)
$\frac{a^6+c^6}{a^4+c^4+a^2c^2} \geq \frac{a^2+c^2}{3}$ (3)
Cộng vế với vế (1);(2);(3):
$⇒P \geq \frac{2}{3}(a^2+b^2+c^2) \geq \frac{2}{3}.3.\sqrt[3]{(abc)^2}=4$
$P_{min}=4$ khi $a^2=b^2=c^2=...$
