Từ giả thiết chúng ta không thể tính giá trị cụ thể của \(a,\,\,b,\,\,c\). Do vậy bằng việc quan sát và nghĩ tới việc phân tích đa thức thành nhân tử để tìm mối quan hệ giữa \(a\), \(b\) và \(c\). Từ đó tìm được giá trị biểu thức \(M\).Giải chi tiết:Theo đề bài ta có: \(\begin{array}{l}{a^2}\left( {b + c} \right) = {b^2}\left( {c + a} \right)\\ \Leftrightarrow {a^2}\left( {b + c} \right) = {b^2}c + {b^2}a\\ \Leftrightarrow {a^2}b + {a^2}c - {b^2}c - {b^2}a = 0\\ \Leftrightarrow ab\left( {a - b} \right) + c\left( {{a^2} - {b^2}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow ab\left( {a - b} \right) + c\left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {a - b} \right)\left[ {ab + c\left( {a + b} \right)} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left( {a - b} \right)\left( {ab + bc + ca} \right) = 0\end{array}\) Vì \(a \ne b\) nên \(a - b \ne 0\). Để \(\left( {a - b} \right)\left( {ab + bc + ca} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow ab + bc + ca = 0\) \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {b - c} \right)\left( {ab + bc + ca} \right) = 0\\ \Leftrightarrow a{b^2} + {b^2}c + abc - abc - b{c^2} - a{c^2} = 0\\ \Leftrightarrow {b^2}a + {b^2}c = b{c^2} + a{c^2}\\ \Leftrightarrow {c^2}\left( {a + b} \right) = {b^2}\left( {a + c} \right)\end{array}\) Mà theo đề bài, ta có: \({b^2}\left( {a + c} \right) = 2021\) nên \(M = {c^2}\left( {a + b} \right) = 2021\). Chọn B.
