Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Theo BĐT Schur: $abc \geq (a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c) \geq 1$
Và $(ab+bc+ca)^2 \geq 3abc(a+b+c)$
Ta có:
$(a+b+c)^6=[(a+b+c)^2]^3=[(a^2+b^2+c^2)+(ab+bc+ca)+(ab+bc+ca)]^3$
$\rightarrow (a+b+c)^6 \geq [3\sqrt[3]{(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)(ab+bc+ca)}]^3$
$\rightarrow (a+b+c)^6 \geq 27(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)^2 \geq (a^2+b^2+c^2).3abc(a+b+c)$
$\rightarrow (a+b+c)^6 \geq 81abc(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)$
$\rightarrow (a+b+c)^5 \geq 81abc(a^2+b^2+c^2) \geq 81(a^2+b^2+c^2)$ (đpcm)
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$