Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Áp dụng BĐT $(a + b)² ≥ 4ab = 4.1 = 4 ⇒ a + b ≥ 2$
Ta có $: P = \dfrac{a² + b² + 5}{a + b + 3}$
$ = \dfrac{a² + b² + 2.1 - 9 + 12}{a + b + 3}$
$ = \dfrac{a² + b² + 2ab - 9 + 12}{a + b + 3}$
$ = \dfrac{(a + b)² - 9 + 12}{a + b + 3}$
$ = \dfrac{(a + b + 3)(a + b - 3) + 12}{a + b + 3}$
$ = a + b - 3 + \dfrac{12}{a + b + 3}$
$ = a + b + 3 + \dfrac{12}{a + b + 3} - 6$
$ = \dfrac{12}{25}(a + b + 3) + \dfrac{12}{a + b + 3} + \dfrac{13}{25}(a + b + 3) - 6$
$ = 12(\dfrac{a + b + 3}{25} + \dfrac{1}{a + b + 3}) + \dfrac{13}{25}(a + b + 3) - 6$
$ ≥ 12.2\sqrt{\dfrac{a + b + 3}{25}.\dfrac{1}{a + b + 3}} + \dfrac{13}{25}(2 + 3) - 6$ ( cô si)
$ = \dfrac{24}{5} + \dfrac{13}{5} - 6 = \dfrac{7}{5}$
Vậy $GTNN$ của $P = \dfrac{7}{5} $ khi đồng thời:
$ \left[ \begin{array}{l}\dfrac{a + b + 3}{25} = \dfrac{1}{a + b + 3}\\a + b = 2\end{array} \right.⇔ \left[ \begin{array}{l}a + b = 2\\ab = 1\end{array} \right. ⇔ \left[ \begin{array}{l}a = 1\\b = 1\end{array} \right.$
Cách khác :
Đặt $x = a + b ≥ 2$
$P = \dfrac{a² + b² + 5}{a + b + 3}$
$ = \dfrac{a² + b² + 2.1 + 3}{a + b + 3}$
$ = \dfrac{a² + b² + 2ab + 3}{a + b + 3}$
$ = \dfrac{(a + b)² + 3}{a + b + 3}$
$ = \dfrac{x² + 3}{x + 3}$
$ ⇒ P - \dfrac{7}{5} = \dfrac{x² + 3}{x + 3} - \dfrac{7}{5}$
$ = \dfrac{(5x² + 15) - (7x + 21)}{x + 3}$
$ = \dfrac{(x - 2)(5x + 3)}{x + 3} ≥ 0 $( vì $x ≥ 2)$
Vậy $GTNN$ của $P = \dfrac{7}{5}⇔ x = 2 $
$ ⇔ a + b = 2 ; ab = 1 ⇔ a = b = 1$
