Cho các số thực dương \(a,\,\,b\) thỏa mãn \(\dfrac{1}{4}{\log _{\sqrt 2 }}a + 2{\log _{\frac{1}{4}}}\dfrac{2}{b} = 0\). Mệnh đề nào dưới đây đúng? A.\(ab = 8.\) B.\(ab = 4.\) C.\({a^2}b = 16.\) D.\(a{b^2} = 4.\)
Phương pháp giải: - Sử dụng công thức: \({\log _{{a^m}}}{b^n} = \dfrac{n}{m}{\log _a}b\,\,\left( {0 < a e 1,\,\,b > 0} \right)\). - Giải phương trình logarit: \({\log _a}x = {\log _a}y \Leftrightarrow x = y > 0\,\,\left( {0 < a e 1} \right)\). Giải chi tiết:Ta có \(\dfrac{1}{4}{\log _{\sqrt 2 }}a + 2{\log _{\frac{1}{4}}}\dfrac{2}{b} = 0\) \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{1}{4}{\log _{{2^{\frac{1}{2}}}}}a + 2{\log _{{2^{ - 2}}}}\dfrac{2}{b} = 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}{\log _2}a - {\log _2}\dfrac{2}{b} = 0\\ \Leftrightarrow {\log _2}{a^{\frac{1}{2}}} = {\log _2}\dfrac{2}{b}\\ \Leftrightarrow \sqrt a = \dfrac{2}{b} \Leftrightarrow a{b^2} = 4\end{array}\) Chọn D.